contrôles en seconde

contrôle du 28 mai 2013

Corrigé de l'exercice 6

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle ]-52;+[ par f(x)=112x+5 . Sa courbe représentative notée Cf est tracée en annexe ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthonormé.
Soit g la fonction affine définie par g(x)=4-x

  1. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère donné en annexe.

    La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D d'équation y=4-x passant par les points de coordonnées (0;4) et (4;0).

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Étudier le signe de f(x)-g(x).

    Pour tout réel x de l'intervalle ]-52;+[, f(x)-g(x)=112x+5-(4-x)=11-(4-x)(2x+5)2x+5=11-(8x+20-2x2-5x)2x+5=2x2-3x-92x+5

    Pour étudier le signe de f(x)-g(x)=2x2-3x-92x+5, cherchons une factorisation du polynôme 2x2-3x-9 : 2x2-3x-9=2×((x-34)2-916-92)=2×((x-34)2-8116)=2×(x-34-94)×(x-34+94)=2×(x-3)×(x+32)

    Étudions le signe de f(x)-g(x)=2(x-3)(x+32)2x+5 à l'aide d'un tableau de signes :

    x

    -52 -32 3 +
    Signe de x+320||+|+ 
    Signe de x+3|0||+ 
    Signe de 2x+5+|+|+ 
    Signe de f(x)-g(x)+0||0||+ 
  3. En déduire les positions relatives de la courbe Cf et de la droite D.

    • Sur chacun des deux intervalles [-52;-32] ou [3;+[ la courbe Cf est au dessus de la droite D.
    • La courbe Cf est au dessous de la droite D sur l'intervalle [-32;3].
    • La droite D coupe la courbe Cf en deux points de coordonnées (-32;112) et (3;1).


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