contrôle du 28 mai 2013

Corrigé de l'exercice 3

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $X^2-X-{\displaystyle \frac{3}{4}}=0$

   Pour tout réel X, $$\begin{array}{ccc}{X}^2-X-{\displaystyle \frac{3}{4}}=0& \iff & {\left(X-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}=0\hfill \\ & \iff & {\left(X-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2-1=0\hfill \\ & \iff & \left(X-{\displaystyle \frac{1}{2}}-1\right)\left(X-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1\right)=0\hfill \\ & \iff & \left(X-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(X+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0\hfill \\ & \text{Soit}& X={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{ ou }X=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \end{array}$$

   L'ensemble S des solutions de l'équation $X^2-X-{\displaystyle \frac{3}{4}}=0$ est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right\}$

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2. En déduire les solutions dans l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ de l'équation ${\sin }^{2}x-\sin x-{\displaystyle \frac{3}{4}}=0$.

   Pour tout réel x, posons $\sin x=X$ avec $-1⩽X⩽1$. L'équation ${\sin }^{2}x-\sin x-{\displaystyle \frac{3}{4}}=0$ s'écrit alors $X^2-X-{\displaystyle \frac{3}{4}}=0$ avec $-1⩽X⩽1$.

   D'après la question précédente, la seule solution qui convienne est $X=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ d'où $\sin x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   Comme $x\in \left]-\pi ;\pi \right]$, il s'ensuit, que $x=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

   Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ l'ensemble des solutions de l'équation ${\sin }^{2}x-\sin x-{\displaystyle \frac{3}{4}}=0$ est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}};-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right\}$.

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