contrôle du 7 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 2

1. Soit f la fonction affine telle que $f\left(-2\right)=3$ et $f\left(4\right)=-1$.
   Donner une expression de $f\left(x\right)$ en fonction de x.

   La fonction affine f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{f\left(-2\right)-f\left(4\right)}{-2-4}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{3+1}{-6}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$$

   D'où, f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+b$. Comme $f\left(-2\right)=3$ on a : $$\begin{array}{rcl}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times \left(-2\right)+b=3& \iff & b=3-{\displaystyle \frac{4}{3}}\\ & \iff & b={\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{5}{3}}$.

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2. g est une fonction affine telle que $g\left(3\right)=2$ et $g\left(2\right)-g\left(4\right)=3$.
   Donner une expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(2\right)-g\left(4\right)}{2-4}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{3}{-2}}=-{\displaystyle \frac{2}{2}}\end{array}$$

   D'où, g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+b$. Or $g\left(3\right)=2$ d'où $$\begin{array}{ccccc}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\times 3+b=2& \iff & b=2+{\displaystyle \frac{9}{2}}& \iff & b={\displaystyle \frac{13}{2}}\end{array}$$

   g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{13}{2}}$.

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