contrôle du 7 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 3

Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

1. $\left(5x-2\right)\left(1-3x\right)>0$

   Étudions le signe du produit $\left(5x-2\right)\left(1-3x\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{cccc}& 5x-2⩽0& \iff & x⩽{\displaystyle \frac{2}{5}}\hfill \\ \text{et}& 1-3x⩽0& \iff & x⩾{\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill \end{array}$$

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{3}}$		${\displaystyle \frac{2}{5}}$		$+\infty$
   Signe de $5x-2$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Signe de $1-3x$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$|$	−
   $\left(5x-2\right)\left(1-3x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   L'ensemble $S_1$ des solutions de l'inéquation $\left(5x-2\right)\left(1-3x\right)>0$ est $S_1=\left]{\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{2}{5}}\right[$.

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2. ${\left(2x+3\right)}^2⩽{\left(4x-1\right)}^2$

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}{\left(2x+3\right)}^2⩽{\left(4x-1\right)}^2& \iff & {\left(2x+3\right)}^2-{\left(4x-1\right)}^2⩽0\\ & \iff & \left[\left(2x+3\right)-\left(4x-1\right)\right]\times \left[\left(2x+3\right)+\left(4x-1\right)\right]⩽0\\ & \iff & \left[2x+3-4x+1\right]\times \left[2x+3+4x-1\right]⩽0\\ & \iff & \left(-2x+4\right)\left(6x+2\right)⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left(-2x+4\right)\left(6x+2\right)$ à l'aide d'un tableau de signes :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{cccc}& -2x+4⩽0& \iff & x⩾2\hfill \\ \text{et}& 6x+2⩽0& \iff & x⩽-{\displaystyle \frac{1}{3}}\hfill \end{array}$$

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{3}}$		2		$+\infty$
   $-2x+4$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $6x+2$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $\left(-2x+4\right)\left(6x+2\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   L'ensemble $S_2$ des solutions de l'inéquation ${\left(2x+3\right)}^2⩽{\left(4x-1\right)}^2$ est $S_2=\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right]\cup \left[2;+\infty \right[$.

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