contrôles en seconde

contrôle du 7 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 4

AEFG est un carré de côté 2 cm et BCDE est un carré de côté 6 cm.
M est un point du segment [AB]. On note x la distance AM et $f (x)$ l'aire en cm² de la partie hachurée.

1. Donner une expression de $f (x)$ quand $x ⩽ 2$ .
  Si $x ⩽ 2$ alors $f (x)$ est égal à l'aire en cm² d'un rectangle de côté x et 2
  Si $x \in [0; 2]$ alors $f (x) = 2 x$ .
2. Vérifier que $f (x) = 6 x - 8$ , si $x \in [2; 8]$ .
  - méthode 1
    Si $x \in [2; 8]$ alors, l'aire de la partie hachurée est égale à la somme des aires du carré AEFG et du rectangle EMND. Soit $f (x) = 2^{2} + (x - 2) \times 6 = 6 x - 8$
  - méthode 2
    Si $x \in [2; 8]$ alors, l'aire de la partie hachurée est égale à la différence entre l'aire du rectangle de côtés AM et MN et l'aire du rectangle côtés GF et FD. Soit $f (x) = 6 \times x - 2 \times 4 = 6 x - 8$
  Si $x \in [2; 8]$ alors, $f (x) = 6 x - 8$ .
Dans le repère orthogonal donné en annexe, tracer la courbe représentative de la fonction f.
f est la fonction définie sur l'intervalle $x \in [0; 8]$ par : ${\begin{array}{l} f (x) = 2 x & si & x \in [0; 2] \\ f (x) = 6 x - 8 & si & x \in [2; 8] \end{array}$ . ( f est une fonction affine par morceaux )
Déterminer l'ensemble des valeurs du réel x pour lesquelles l'aire de la partie hachurée est comprise entre 2 cm² et 20 cm²
On cherche à résoudre $2 ⩽ f (x) ⩽ 20$ . Comme sur l'intervalle $[0; 2]$ on a $f (x) ⩽ 4$ et sur l'intervalle $[2; 8]$ on a $f (x) ⩾ 4$ , on cherche les solutions des inéquations $f (x) ⩾ 2$ sur l'intervalle $[0; 2]$ et $f (x) ⩽ 20$ sur l'intervalle $[2; 8]$ . Or
$\begin{matrix} 2 x ⩾ 2 \Leftrightarrow x ⩾ 1 & et & 6 x - 8 ⩽ 20 \Leftrightarrow x ⩽ \frac{14}{3} \end{matrix}$
L'aire de la partie hachurée est comprise entre 2 cm² et 20 cm² pour $x \in [1; \frac{14}{3}]$ .

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