contrôle du 24 novembre 2016

Corrigé de l'exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

1. Placer les points $A\left(3;5\right)$, $B\left(-6;2\right)$ et $C\left(-4;-4\right)$.

2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

   Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

   • Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ :$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{BC}\left(x_C-x_B;y_C-y_B\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{BC}\left(-4+6;-4-2\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{BC}\left(2;-6\right)\end{array}$$

   • Soit $\left(x;y\right)$ les coordonnées du point D. Le vecteur $\overrightarrow{AD}$ a pour coordonnées : $\left(x-3;y-5\right)$.

   • $$\begin{array}{rclll}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}& \iff & \{\begin{array}{l}x-3=2\\ y-5=-6\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}x=5\\ y=-1\end{array}\end{array}$$

   Le point D a pour coordonnées $\left(5;-1\right)$.

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3. 1. Calculer les distances AC et BD.

      Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où :$$\begin{array}{rcl}AC=\sqrt{{\left(x_C-x_A\right)}^2+{\left(y_C-y_A\right)}^2}& \text{Soit}& AC=\sqrt{{\left(-4-3\right)}^2+{\left(-4-5\right)}^2}=\sqrt{130}\\ BD=\sqrt{{\left(x_D-x_B\right)}^2+{\left(y_D-y_B\right)}^2}& \text{Soit}& BD=\sqrt{{\left(5+6\right)}^2+{\left(-1-2\right)}^2}=\sqrt{130}\end{array}$$

      Ainsi, $AC=BD=\sqrt{130}$.

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   2. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

      ABCD est un parallélogramme dont les diagonales AC et BD ont la même longueur donc ABCD est un rectangle.

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4. 1. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AB].

      Les coordonnées $\left(x_M;y_M\right)$ du point M milieu du segment [AB] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_M={\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}& \text{Soit}& x_M={\displaystyle \frac{3-6}{2}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ y_M={\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}& \text{Soit}& y_M={\displaystyle \frac{5+2}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$$

      Le point M a pour coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$.

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   2. Les droites (BC) et (OM) sont-elles parallèles ?

      Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BC}\left(2;-6\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{O}M}\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$ ne sont pas proportionnelles, en effet :$$2\times {\displaystyle \frac{7}{2}}-\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\times \left(-6\right)\ne 0$$

      Les vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{\mathrm{O}M}$ ne sont pas colinéaires donc les droites (BC) et (OM) ne sont pas parallèles.

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