contrôle du 15 décembre 2016

Corrigé de l'exercice 1

partie a

1. Calculer les images des réels $\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$ et $\left(1+\sqrt{5}\right)$.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)& =& {\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2\\ & =& {\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

   $$\begin{array}{rcl}f\left(1+\sqrt{5}\right)& =& {\left(1+\sqrt{5}\right)}^2\\ & =& 1+2\sqrt{5}+5\\ & =& 6+2\sqrt{5}\end{array}$$

   Les images des réels $\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$ et $\left(1+\sqrt{5}\right)$ sont respectivement ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ et $6+2\sqrt{5}$.

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2. Quels sont les antécédents éventuels de 18 ?

   L'équation $x^2=18$ admet deux solutions $x=-\sqrt{\mathrm{18}}$ ou $x=\sqrt{\mathrm{18}}$.

   Les antécédents de 12 sont $-3\sqrt{2}$ et $3\sqrt{2}$.

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3. Le point $A\left(-\mathrm{3,5};12\right)$ appartient-il à la parabole 𝒫 ?

   $$f\left(-\mathrm{3,5}\right)={\left(-\mathrm{3,5}\right)}^2=\mathrm{12,25}$$

   Les coordonnées du point $A\left(-\mathrm{3,5};12\right)$ ne vérifient pas l'équation de la parabole 𝒫. Donc le point A n'appartient pas à la parabole 𝒫.

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4. Soit a un réel tel que : $-{\displaystyle \frac{3}{7}}⩽a⩽{10}^{-2}$. Déterminer un encadrement de $a^2$.

   La fonction carré n'est pas monotone sur $ℝ$. Or $-{\displaystyle \frac{3}{7}}⩽a⩽{10}^{-2}$ équivaut à $-{\displaystyle \frac{3}{7}}⩽a⩽0$ ou $0⩽a⩽{10}^{-2}$ :

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$, la fonction carré est strictement décroissante. Par conséquent, si $-{\displaystyle \frac{3}{7}}⩽a⩽0$ alors $0⩽a^2⩽{\displaystyle \frac{9}{49}}$.

   • Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ , la fonction carré est strictement croissante. Par conséquent, si $0⩽a⩽{10}^{-2}$ alors $0⩽a^2⩽{10}^{-4}$.

   Ainsi, si $-{\displaystyle \frac{3}{7}}⩽a⩽{10}^{-2}$. Déterminer un encadrement de $a^2$ alors $0⩽a^2⩽{\displaystyle \frac{9}{49}}$.

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partie b

Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ et telle que $g\left(-2\right)=20$ et $g\left(4\right)=10$.

1. Tracer la droite D représentative de la fonction g dans le repère précédent.

2. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(4\right)-g\left(-2\right)}{4-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{10-20}{6}}=-{\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$$

   Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{5}{3}}x+b$. Or $g\left(4\right)=10$ d'où $$-{\displaystyle \frac{5}{3}}\times 4+b=10\iff b={\displaystyle \frac{50}{3}}$$

   g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{5}{3}}x+{\displaystyle \frac{50}{3}}$.

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partie c

On admet que pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\left(x+{\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{625}{36}}$.

1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)⩽g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0\\ & \iff & {\left(x+{\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{625}{36}}⩽0\\ & \iff & \left(x+{\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{25}{6}}\right)\left(x+{\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{25}{6}}\right)⩽0\\ & \iff & \left(x-{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\left(x+5\right)⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left(x-{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\left(x+5\right)$ à l'aide d'un tableau :

   x	$-\infty$		$-5$		${\displaystyle \frac{10}{3}}$		$+\infty$
   $x-{\displaystyle \frac{10}{3}}$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $x+5$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x-{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\left(x+5\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ est l'intervalle $\left[-5;{\displaystyle \frac{10}{3}}\right]$

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2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la droite D avec la parabole 𝒫.

   Les abscisses des points d'intersection de la droite D avec la parabole 𝒫 sont les solutions de l'équation $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)=0\\ & \iff & \left(x-{\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\left(x+5\right)=0\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{10}{3}}\text{ ou }x=-5\end{array}$$

   Or $f\left(-5\right)={\left(-5\right)}^2=25$ et $f\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)={\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{100}{9}}$.

   La droite D coupe la parabole 𝒫 en deux points de coordonnées respectives $\left(-5;25\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{10}{3}};{\displaystyle \frac{100}{9}}\right)$

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