contrôle du 15 décembre 2016

Corrigé de l'exercice 1

partie a

1. Calculer les images des réels $\left(1-\sqrt{3}\right)$ et ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(1-\sqrt{3}\right)& =& {\left(1-\sqrt{3}\right)}^2\\ & =& 1-2\sqrt{3}+3\\ & =& 4-2\sqrt{3}\end{array}$$

   $$\begin{array}{rcl}f\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\right)& =& {\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\right)}^2\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{9}}\end{array}$$

   Les images des réels $\left(1-\sqrt{3}\right)$ et ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$ sont respectivement $4-2\sqrt{3}$ et ${\displaystyle \frac{2}{9}}$.

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2. Quels sont les antécédents éventuels de 12 ?

   L'équation $x^2=12$ admet deux solutions $x=-\sqrt{\mathrm{12}}$ ou $x=\sqrt{\mathrm{12}}$.

   Les antécédents de 12 sont $-2\sqrt{3}$ et $2\sqrt{3}$.

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3. Le point $A\left(-\mathrm{5,5};30\right)$ appartient-il à la parabole 𝒫 ?

   $$f\left(-\mathrm{5,5}\right)={\left(-\mathrm{5,5}\right)}^2=\mathrm{30,25}$$

   Les coordonnées du point $A\left(-\mathrm{5,5};30\right)$ ne vérifient pas l'équation de la parabole 𝒫. Donc le point A n'appartient pas à la parabole 𝒫.

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4. Soit a un réel tel que : $-{10}^{-1}⩽a⩽{\displaystyle \frac{13}{8}}$. Déterminer un encadrement de $a^2$.

   La fonction carré n'est pas monotone sur $ℝ$. Or $-{10}^{-1}⩽a⩽{\displaystyle \frac{13}{8}}$ équivaut à $-{10}^{-1}⩽a⩽0$ ou $0⩽a⩽{\displaystyle \frac{13}{8}}$ :

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$, la fonction carré est strictement décroissante. Par conséquent, si $-{10}^{-1}⩽a⩽0$ alors $0⩽a^2⩽{10}^{-2}$.

   • Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ , la fonction carré est strictement croissante. Par conséquent, si $0⩽a⩽{\displaystyle \frac{13}{8}}$ alors $0⩽a^2⩽{\displaystyle \frac{169}{64}}$.

   Ainsi, si $-{10}^{-1}⩽a⩽{\displaystyle \frac{13}{8}}$ alors $0⩽a^2⩽{\displaystyle \frac{169}{64}}$.

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partie b

Soit g la fonction affine définie sur $ℝ$ et telle que $g\left(-5\right)=10$ et $g\left(3\right)=22$.

1. Tracer la droite D représentative de la fonction g dans le repère précédent.

2. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

   La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(3\right)-g\left(-5\right)}{3-\left(-5\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{22-10}{8}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}x+b$. Or $g\left(3\right)=22$ d'où $${\displaystyle \frac{3}{2}}\times 3+b=22\iff b={\displaystyle \frac{35}{2}}$$

   g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}x+{\displaystyle \frac{35}{2}}$.

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partie c

On admet que pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{289}{16}}$.

1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)⩽g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0\\ & \iff & {\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{289}{16}}⩽0\\ & \iff & \left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{17}{4}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{17}{4}}\right)⩽0\\ & \iff & \left(x-5\right)\left(x+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left(x-5\right)\left(x+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$ à l'aide d'un tableau :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{7}{2}}$		5		$+\infty$
   $x-5$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $x+{\displaystyle \frac{7}{2}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x-5\right)\left(x+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ est l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{7}{2}};5\right]$

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2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la droite D avec la parabole 𝒫.

   Les abscisses des points d'intersection de la droite D avec la parabole 𝒫 sont les solutions de l'équation $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)=0\\ & \iff & \left(x-5\right)\left(x+{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)=0\\ & \iff & x=5\text{ ou }x=-{\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$$

   Or $f\left(-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)={\left(-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{49}{4}}$ et $f\left(5\right)=5^2=25$.

   La droite D coupe la parabole 𝒫 en deux points de coordonnées respectives $\left(-{\displaystyle \frac{7}{2}};{\displaystyle \frac{49}{4}}\right)$ et $\left(5;25\right)$.

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