contrôles en seconde

contrôle du 15 décembre 2016

Corrigé de l'exercice 2

A, B, C et D sont quatre points distincts de la parabole 𝒫 d'équation $y = x^{2}$ .

Les abscisses des points A, B et C sont respectivement $(- 6)$ , 5 et $(- 4)$ .

Calculer les coordonnées du point D pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles.

Les droites (AB) et (CD) soient parallèles si, et seulement si, les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ sont colinéaires.

Soit x l'abscisse du point D. Comme A, B, C et D sont quatre points de la parabole 𝒫, leurs coordonnées respectives sont $A (- 6; 36)$ , $B (5; 25)$ , $C (- 4; 16)$ et $D (x; x^{2})$
Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ : $\begin{matrix} \vec{A B} (\begin{matrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{matrix}) & Soit & \vec{A B} (\begin{matrix} 5 - (- 6) \\ 25 - 36 \end{matrix}) & d'où & \vec{A B} (\begin{matrix} 11 \\ - 11 \end{matrix}) \\ \vec{C D} (\begin{matrix} x_{D} - x_{C} \\ y_{D} - y_{C} \end{matrix}) & Soit & \vec{C D} (\begin{matrix} x - (- 4) \\ x^{2} - 16 \end{matrix}) & d'où & \vec{C D} (\begin{matrix} x + 4 \\ x^{2} - 16 \end{matrix}) \end{matrix}$
Les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles soit : $\begin{array}{rcl} 11 \times (x^{2} - 16) - (- 11) \times (x + 4) = 0 & \Leftrightarrow & 11 \times (x + 4) (x - 4) + 11 \times (x + 4) = 0 \\ \Leftrightarrow & 11 \times (x + 4) \times (x - 4 + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow & 11 \times (x + 4) \times (x - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow & x = - 4 ou x = 3 \end{array}$

Comme les points C et D sont distincts, l'abscisse du point D est $x = 3$ .

Le point D a pour coordonnées $(3; 9)$ .

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