contrôle du 10 mars 2017

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}x-5$.

1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=1$, $b=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ et $c=-5$. Comme $a>0$, la fonction f admet un minimum atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit :$$x=-{\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{4}{3}}}{2\times 1}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ et $f\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}\times {\displaystyle \frac{2}{3}}-5=-{\displaystyle \frac{49}{9}}$

   D'où le tableau des variations de de la fonction f :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{2}{3}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-\frac{49}{9}$

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2. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{9}}$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& x^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}x-5\\ & =& {\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{4}{9}}-5\\ & =& {\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{9}}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)={\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{9}}$.

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3. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)⩽0& \iff & {\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{49}{9}}⩽0\\ & \iff & \left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{7}{3}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{7}{3}}\right)⩽0\\ & \iff & \left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)⩽0\end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$ à l'aide d'un tableau :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{5}{3}}$		3		$+\infty$
   $x-3$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $x+{\displaystyle \frac{5}{3}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $f\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x+{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$ est l'intervalle $I=\left[-{\displaystyle \frac{5}{3}};3\right]$.

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