contrôles en seconde

contrôle du 10 mars 2017

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction polynôme du second degré définie pour tout réel x par f(x)=x2-43x-5.

  1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

    f est une fonction polynôme du second degré avec a=1, b=-43 et c=-5. Comme a>0, la fonction f admet un minimum atteint pour x=-b2a soit :x=--432×1=23 et f(23)=(23)2-43×23-5=-499

    D'où le tableau des variations de de la fonction f :

    x- 23 +
    f(x) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -499

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  2. Montrer que pour tout réel x, f(x)=(x-23)2-499.

    Pour tout réel x, f(x)=x2-43x-5=(x-23)2-49-5=(x-23)2-499

    Ainsi, pour tout réel x, f(x)=(x-23)2-499.


  3. Résoudre dans l'inéquation f(x)0.

    Pour tout réel x, f(x)0(x-23)2-4990(x-23-73)(x-23+73)0(x-3)(x+53)0

    Étudions le signe du produit (x-3)(x+53) à l'aide d'un tableau :

    x

    - -53 3 +
    x-3 |0||+ 
    x+53 0||+|+ 
    f(x)=(x-3)(x+53) +0||0||+ 

    L'ensemble solution de l'inéquation f(x)0 est l'intervalle I=[-53;3].



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