contrôles en seconde

contrôle du 10 mars 2017

Corrigé de l'exercice 4

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A (5; 7)$ , $B (- 3; 3)$ et $C (6; 0)$ .

Déterminer une équation de la droite $d_{1}$ passant par le milieu M du segment [AB] et de coefficient directeur $(- 2)$ .
Les coordonnées $(x_{M}; y_{M})$ du point M milieu du segment [AB] sont : $\begin{matrix} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} & Soit & x_{M} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} & Soit & y_{M} = \frac{7 + 3}{2} = 5 \end{matrix}$
Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées $(1; 5)$ .
Le coefficient directeur de la droite $d_{1}$ est $m = - 2$ . Une équation de la droite $d_{1}$ est de la forme $y = - 2 x + p$ .
Le point $M (1; 5)$ appartient à la droite $d_{1}$ donc : $\begin{matrix} - 2 \times 1 + p = 5 & \Leftrightarrow & p = 7 \end{matrix}$
La droite $d_{1}$ a pour équation $y = - 2 x + 7$ .
Résoudre le système ${\begin{array}{l} y = - 2 x + 7 \\ y = 3 x - 3 \end{array}$ . Interpréter graphiquement le résultat.
$\begin{array}{rcl} {\begin{array}{l} y = - 2 x + 7 \\ y = 3 x - 3 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} y = - 2 x + 7 \\ - 2 x + 7 = 3 x - 3 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} y = - 2 x + 7 \\ - 5 x = - 10 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array} \end{array}$
Le système admet pour couple solution $(2; 3)$ . La droite d'équation $y = 3 x - 3$ coupe la droite $d_{1}$ au point de coordonnées $(2; 3)$ .
Montrer que le point K de coordonnées $(2; 3)$ est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où : $\begin{array}{rcl} K A = \sqrt{{(x_{A} - x_{K})}^{2} + {(y_{A} - y_{K})}^{2}} & Soit & K A = \sqrt{{(5 - 2)}^{2} + {(7 - 3)}^{2}} = \sqrt{25} = 5 \\ K B = \sqrt{{(x_{B} - x_{K})}^{2} + {(y_{B} - y_{K})}^{2}} & Soit & K B = \sqrt{{(- 3 - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}} = \sqrt{25} = 5 \\ K C = \sqrt{{(x_{C} - x_{K})}^{2} + {(y_{C} - y_{K})}^{2}} & Soit & K C = \sqrt{{(6 - 2)}^{2} + {(0 - 3)}^{2}} = \sqrt{25} = 5 \end{array}$
Ainsi, $K A = K B = K C = 5$ le point K est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

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