contrôle du 20 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 2

1. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1$

   1. Donner le tableau du signe de $f\left(x\right)$.

      $$\begin{array}{rcll}-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1⩽0& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x⩽-1& \\ & \iff & x⩾-1\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)& \text{multiplication par un nombre négatif !}\\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{3}{2}}& \end{array}$$

      D'où le tableau du signe de $f\left(x\right)$ :

      x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
      Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   2. Soient a et b deux réels tels que $a<b$ comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$.

      La fonction affine f définie par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1$ est strictement décroissante donc :

      Si a et b sont deux réels tels que $a<b$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$

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   3. Dans le plan muni d'un repère orthonormé tracer la courbe $D_1$ représentative de la fonction f.

      La courbe représentative de la fonction affine f est la droite $D_1$ passant par les points de coordonnées $\left(0;1\right)$ et $\left({\displaystyle \frac{3}{2}};0\right)$

2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=-3$ et $g\left(6\right)=1$.

   1. Tracer la courbe $D_2$ représentative de la fonction g dans le repère précédent.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite $D_2$ passant par les points de coordonnées $\left(-2;-3\right)$ et $\left(6;1\right)$.

   2. Déterminer l'expression de de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(6\right)-g\left(-2\right)}{6-\left(-2\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{1+3}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}x+b$. Or $g\left(6\right)=1$ d'où $$3+b=1\iff b=-2$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{2}}-2$.

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3. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽{\displaystyle \frac{x}{2}}-2$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcll}f\left(x\right)⩽{\displaystyle \frac{x}{2}}-2& \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x+1⩽{\displaystyle \frac{x}{2}}-2& \\ & \iff & -{\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{x}{2}}⩽-2-1& \\ & \iff & -{\displaystyle \frac{7}{6}}x⩽-3& \\ & \iff & x⩾-3\times \left(-{\displaystyle \frac{6}{7}}\right)& \text{multiplication par un nombre négatif !}\\ & \iff & x⩾{\displaystyle \frac{18}{7}}& \end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽{\displaystyle \frac{x}{2}}-2$ est l'intervalle $S=\left[{\displaystyle \frac{18}{7}};+\infty \right[$.

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