contrôles en seconde

contrôle du 20 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = {(2 - 3 x)}^{2} - {(2 x + 3)}^{2}$ .

Factoriser l'expression de $f (x)$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} {(2 - 3 x)}^{2} - {(2 x + 3)}^{2} & = & [(2 - 3 x) - (2 x + 3)] \times [(2 - 3 x) + (2 x + 3)] \\ = & (2 - 3 x - 2 x - 3) (2 - 3 x + 2 x + 3) \\ = & (- 5 x - 1) (- x + 5) \end{array}$
Pour tout réel x, $f (x) = (- 5 x - 1) (- x + 5)$
Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f (x) ⩽ 0$ .
Pour tout réel x, $f (x) ⩽ 0 \Leftrightarrow (- 5 x - 1) (- x + 5) ⩽ 0$ . Étudions le signe du produit $(- 5 x - 1) (- x + 5)$ .
Pour tout réel x, $\begin{matrix} - 5 x - 1 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩾ - \frac{1}{5} \\ et & - x + 5 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩾ 5 \end{matrix}$
On en déduit le tableau de signes :
x
$- \infty$ $- \frac{1}{5}$ 5 $+ \infty$
Signe de $- 5 x - 1$ + $0_{|}^{|}$ − $|$ −
Signe de $- x + 5$ + $|$ + $0_{|}^{|}$ -
$f (x) = (- 5 x - 1) (- x + 5)$ + $0_{|}^{|}$ − $0_{|}^{|}$ +
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f (x) ⩽ 0$ est $S = [- \frac{1}{5}; 5]$ .

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x	$- \infty$		$- \frac{1}{5}$		5		$+ \infty$
Signe de $- 5 x - 1$		+	$0_{\|}^{\|}$	−	$\|$	−
Signe de $- x + 5$		+	$\|$	+	$0_{\|}^{\|}$	-
$f (x) = (- 5 x - 1) (- x + 5)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−	$0_{\|}^{\|}$	+