contrôles en seconde

contrôle du 20 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = {(3 - 2 x)}^{2} - {(3 x + 2)}^{2}$ .

Factoriser l'expression de $f (x)$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} {(3 - 2 x)}^{2} - {(3 x + 2)}^{2} & = & [(3 - 2 x) - (3 x + 2)] \times [(3 - 2 x) + (3 x + 2)] \\ = & (3 - 2 x - 3 x - 2) (3 - 2 x + 3 x + 2) \\ = & (- 5 x + 1) (x + 5) \end{array}$
Pour tout réel x, $f (x) = (- 5 x + 1) (x + 5)$
Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f (x) ⩽ 0$ .
Pour tout réel x, $f (x) ⩽ 0 \Leftrightarrow (- 5 x + 1) (x + 5) ⩽ 0$ . Étudions le signe du produit $(- 5 x + 1) (x + 5)$ .
Pour tout réel x, $\begin{matrix} - 5 x + 1 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩾ \frac{1}{5} \\ et & x + 5 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩽ - 5 \end{matrix}$
On en déduit le tableau de signes :
x
$- \infty$ $- 5$ $\frac{1}{5}$ $+ \infty$
Signe de $- 5 x + 1$ + $|$ + $0_{|}^{|}$ −
Signe de $x + 5$ − $0_{|}^{|}$ + $|$ +
$f (x) = (- 5 x + 1) (x + 5)$ − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f (x) ⩽ 0$ est $S =] - \infty; - 5] \cup [\frac{1}{5}; + \infty [$ .

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x	$- \infty$		$- 5$		$\frac{1}{5}$		$+ \infty$
Signe de $- 5 x + 1$		+	$\|$	+	$0_{\|}^{\|}$	−
Signe de $x + 5$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$\|$	+
$f (x) = (- 5 x + 1) (x + 5)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−