contrôles en seconde

contrôle du 20 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 3

ABCD est un trapèze de hauteur $h = 6$ avec $A B = 17$ et $C D = 7$ .

À tout point M du segment [AB], on associe le réel $x = A M$ .

On note f la fonction telle que le nombre $f (x)$ est égal à l'aire du trapèze MBCD.

Quel est l'ensemble de définition de la fonction f ?
M est un point du segment [AB] donc $0 ⩽ A M ⩽ 17$ . Soit $x \in [0; 17]$ .
La fonction f est définie sur l'intervalle $[0; 17]$ .
Justifier que $f (x) = 72 - 3 x$ .
L'aire du trapèze MBCD est égale à la différence entre l'aire du trapèze ABCD et l'aire du triangle ADM. D'où $\begin{array}{rcl} f (x) = \frac{(A B + C D) \times h}{2} - \frac{A M \times h}{2} & Soit & f (x) = \frac{(17 + 7) \times 6}{2} - \frac{x \times 6}{2} \\ \Leftrightarrow & f (x) = 72 - 3 x \end{array}$
Ainsi, la fonction f est définie sur l'intervalle $[0; 17]$ par $f (x) = 72 - 3 x$ .
Déterminer les positions du point M pour que l'aire du trapèze MBCD soit supérieure ou égale à la moitié de l'aire du trapèze ABCD.
On cherche l'ensemble des réels x appartenant à l'intervalle $[0; 17]$ solutions de l'inéquation : $\begin{array}{rcl} 72 - 3 x ⩾ \frac{72}{2} & \Leftrightarrow & - 3 x ⩾ - 36 \\ \Leftrightarrow & x ⩽ 12 \end{array}$
L'aire du trapèze MBCD est supérieure ou égale à la moitié de l'aire du trapèze ABCD pour l'ensemble des points M du segment [AB] tels que la distance $A M ⩽ 12$ .

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