contrôle du 23 janvier 2018

Corrigé de l'exercice 1

f est la fonction carré définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2$.

1. Calculer les images des réels : $\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$ ; ${10}^{-3}$ ; $2-\sqrt{3}$ et $2\sqrt{3}$.

   • ${\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{25}{9}}$ donc $f\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)={\displaystyle \frac{25}{9}}$

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   • ${\left({10}^{-3}\right)}^2={10}^{-6}$ donc $f\left({10}^{-3}\right)={10}^{-6}$

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   • ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^2=4-4\sqrt{3}+3$ donc $f\left(2-\sqrt{3}\right)=7-4\sqrt{3}$

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   • ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2=4\times 3=12$ donc $f\left(2\sqrt{3}\right)=12$

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2. Quels sont les antécédents éventuels de 8 ?

   L'équation $x^2=8$ admet deux solutions $x=-\sqrt{8}$ ou $x=\sqrt{8}$.

   Les antécédents de 8 sont $-2\sqrt{2}$ et $2\sqrt{2}$.

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3. Soit a un réel de l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{3}{4}};{\displaystyle \frac{4}{3}}\right]$. Donner un encadrement de $a^2$.

   La fonction carré n'est pas monotone sur $ℝ$. Or $-{\displaystyle \frac{3}{4}}⩽a⩽{\displaystyle \frac{4}{3}}$ équivaut à $-{\displaystyle \frac{3}{4}}⩽a⩽0$ ou $0⩽a⩽{\displaystyle \frac{4}{3}}$.

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right]$, la fonction carré est strictement décroissante. Par conséquent, si $-{\displaystyle \frac{3}{4}}⩽a⩽0$ alors $0⩽a^2⩽{\displaystyle \frac{9}{16}}$.

   • Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{4}{3}};+\infty \right[$, la fonction carré est strictement croissante. Par conséquent, si $0⩽a⩽{\displaystyle \frac{4}{3}}$ alors $0⩽a^2⩽{\displaystyle \frac{16}{9}}$.

   Ainsi, si $a\in \left[-{\displaystyle \frac{3}{4}};{\displaystyle \frac{4}{3}}\right]$ alors $0⩽a^2⩽{\displaystyle \frac{16}{9}}$.

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