contrôle du 23 janvier 2018

Corrigé de l'exercice 3

1. Quelles sont les valeurs possibles pour le réel x ?

   $AB>0$ et $BC>0$ d'où $x>0$ et $7-x>0$ donc $0<x<7$.

   x est un réel de l'intervalle $\left]0;7\right[$.

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2. Déterminer la valeur de x pour que l'aire du rectangle ABCD soit maximale. En déduire l'aire maximale du rectangle ABCD.

   L'aire du rectangle ABCD en fonction du réel x est :$$f\left(x\right)=x\left(7-x\right)=-x^2+7x$$

   La fonction f définie par $f\left(x\right)=-x^2+7x$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=-1$, $b=7$ et $c=0$.

   Comme $a<0$ alors, la fonction f admet un maximum atteint pour $\alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit $\alpha ={\displaystyle \frac{-7}{-2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$. D'autre part, $$f\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{49}{4}}+{\displaystyle \frac{49}{2}}={\displaystyle \frac{49}{4}}=\mathrm{12,25}$$

   L'aire maximale du rectangle ABCD est égale à 12,25 obtenue pour $x=\mathrm{3,5}$.

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3. 1. Calculer l'aire du rectangle pour $x=3$.

      $$f\left(3\right)=-9+21=12$$

      Si $x=3$ alors, l'aire du rectangle ABCD est égale à 12.

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   2. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾12$.

      Comme $12⩾\mathrm{12,25}$ alors, l'équation $f\left(x\right)=12$ admet une deuxième solution a telle que $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{a+3}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}& \iff & a=4\end{array}$$

      Le tableau des variations de la fonction f est :

      x	0	3	3,5	4	7
      $f\left(x\right)$			12,25

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      D'après les variations de la fonction f, l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾12$ est l'intervalle $\left[3;4\right]$.

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