contrôle du 23 janvier 2018

Corrigé de l'exercice 5

1. Soit $M\left(x;{\displaystyle \frac{3}{4}}x+1\right)$ un point de la droite $𝒟$.

   1. Exprimer en fonction de x les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$.

      Le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées :$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}{x}_M-x_A\\ y_M-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{l}x-4\\ {\displaystyle \frac{3}{4}}x+1+1\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AM}\left(\begin{array}{c}x-4\\ {\displaystyle \frac{3}{4}}x+2\end{array}\right)\end{array}$$

      Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$ sont $\left(x-4;{\displaystyle \frac{3}{4}}x+2\right)$.

      ---

   2. Montrer que ${AM}^2={\displaystyle \frac{25}{16}}{x}^2-5x+20$.

      Le plan muni d'un repère orthonormé donc :$$\begin{array}{rcl}{AM}^2& =& {\left(x-4\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}x+2\right)}^2\\ & =& x^2-8x+16+{\displaystyle \frac{9}{16}}{x}^2+3x+4\\ & =& {\displaystyle \frac{25}{16}}{x}^2-5x+20\end{array}$$

      Ainsi, ${AM}^2={\displaystyle \frac{25}{16}}{x}^2-5x+20$.

      ---

2. Donner le tableau des variations de la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{25}{16}}{x}^2-5x+20$.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a={\displaystyle \frac{25}{16}}$, $b=-5$ et $c=20$.

   Comme $a>0$ alors, la fonction f admet un minimum atteint pour $\alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit pour $$\alpha =-{\displaystyle \frac{-5}{2\times {\displaystyle \frac{25}{16}}}}={\displaystyle \frac{8}{5}}$$ et, $$f\left({\displaystyle \frac{8}{5}}\right)={\displaystyle \frac{25}{16}}\times {\displaystyle \frac{64}{25}}-5\times {\displaystyle \frac{8}{5}}+20=16$$

   D'où le tableau des variations de la fonction f :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{8}{5}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			16

3. En déduire la distance du point A à la droite $𝒟$.

   La valeur minimale de ${AM}^2$ est égale à 16. Par conséquent, la plus courte distance du point A à un point de la droite $𝒟$ est :$$AH=\sqrt{16}=4$$

   La distance du point A à la droite $𝒟$ est $AH=4$.

   ---

4. Calculer les coordonnées du point H.

   La valeur minimale de ${AM}^2$ est obtenue pour $x={\displaystyle \frac{8}{5}}$. Par conséquent, le point H a pour abscisse $x={\displaystyle \frac{8}{5}}$ et pour ordonnée $y={\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{8}{5}}+1={\displaystyle \frac{11}{5}}$.

   Le point H a pour coordonnées $\left({\displaystyle \frac{8}{5}};{\displaystyle \frac{11}{5}}\right)$.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Calcul numériqueIntervalles et ordreFonctions généralitésFonctions : variationsFonctions de référence : ApplicationsFonction affineFonction carréFonction inverseSecond degréFonction homographiqueÉquationsInéquationsStatistiquesProbabilitésVecteursRepérage dans le planÉquation de droitesSystèmes d'équationsTrigonométrieGéométrie dans l'espaceTriangles isométriques, Triangles semblablesQ.C.M

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.