contrôle du 23 janvier 2018

Corrigé de l'exercice 2

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

   A et B sont deux points de la parabole 𝒫, leurs coordonnées respectives sont $A\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{9}{4}}\right)$, $B\left({\displaystyle \frac{9}{2}};{\displaystyle \frac{81}{4}}\right)$.

   Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)$ d'où $$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{9}{2}}-\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\\ {\displaystyle \frac{81}{4}}-{\displaystyle \frac{9}{4}}\end{array}\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}6\\ 18\end{array}\right)\end{array}$$

   Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées : $\overrightarrow{AB}\left(6;18\right)$.

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2. Calculer les coordonnées du point D appartenant à la parabole 𝒫 pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles.

   Les droites (AB) et (CD) soient parallèles si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

   Le point C d'abscisse 6 est un point de la parabole 𝒫, d'où $C\left(6;36\right)$. Soit $\left(x;x^2\right)$ les coordonnées du point D de la parabole.
   Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CD}$ sont donc $\left(x-6;x^2-36\right)$

   Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées vérifient la relation : $$\begin{array}{rcl}6\times \left(x^2-36\right)-18\times \left(x-6\right)=0& \iff & 6\times \left(x+6\right)\left(x-6\right)-18\times \left(x-6\right)=0\\ & \iff & 6\times \left(x-6\right)\times \left(x+6-3\right)=0\\ & \iff & 6\times \left(x-6\right)\times \left(x+3\right)=0\\ & \iff & x=6\text{ ou }x=-3\end{array}$$

   Comme les points C et D n'ont pas la même abscisse, l'abscisse du point D est $x=-3$.

   Ainsi, le point D a pour coordonnées $\left(-3;9\right)$.

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