contrôle du 23 janvier 2018

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2x^2-5x-12$.

1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=2$, $b=-5$ et $c=-12$.

   Comme $a<0$ alors, la fonction f admet un minimum atteint pour $\alpha =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$ soit pour $\alpha ={\displaystyle \frac{5}{4}}$ et, $$f\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)=2\times {\displaystyle \frac{25}{16}}-5\times {\displaystyle \frac{5}{4}}-12=-{\displaystyle \frac{121}{8}}$$

   D'où le tableau de variations de la fonction f :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{5}{4}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-{\displaystyle \frac{121}{8}}$

2. 1. Calculer $f\left(-3\right)$.

      $$f\left(-3\right)=2\times 9+5\times 3-12=21$$

      Ainsi, $f\left(-3\right)=21$.

      ---

   2. En déduire les solutions de l'équation $f\left(x\right)=21$.

      Comme $f\left(-3\right)>-{\displaystyle \frac{121}{8}}$ alors, l'équation $f\left(x\right)=21$ admet une deuxième solution $x_0\in \left[{\displaystyle \frac{5}{4}};+\infty \right[$ telle que :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{x_0-3}{2}}={\displaystyle \frac{5}{4}}& \iff & x_0-3={\displaystyle \frac{5}{2}}\\ & \iff & x_0={\displaystyle \frac{11}{2}}\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=21$ est $S=\left\{-3;{\displaystyle \frac{11}{2}}\right\}$.

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3. Soit m un réel appartenant à l'intervalle $\left[-3;5\right]$. Donner un encadrement de $f\left(m\right)$.

   • Sur l'intervalle $\left[-3;{\displaystyle \frac{5}{4}}\right]$, la fonction f est strictement décroissante. Par conséquent, si $-3⩽m⩽{\displaystyle \frac{5}{4}}$ alors $f\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)⩽f\left(m\right)⩽f\left(-3\right)$. Soit $-{\displaystyle \frac{121}{8}}⩽f\left(m\right)⩽21$.

   • Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{5}{4}};5\right]$, la fonction f est strictement croissante. Par conséquent, si ${\displaystyle \frac{5}{4}}⩽m⩽5$ alors $f\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)⩽f\left(m\right)⩽f\left(5\right)$. Soit $-{\displaystyle \frac{121}{8}}⩽f\left(m\right)⩽13$.

   Ainsi, si $m\in \left[-3;5\right]$ alors $-{\displaystyle \frac{121}{8}}⩽f\left(m\right)⩽21$.

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4. 1. Montrer que pour tout réel x, on a $f\left(x\right)=2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}\right]$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}2x^2-5x-12& =& 2\times \left[x^2-{\displaystyle \frac{5}{2}}x-6\right]\\ & =& 2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{25}{16}}-6\right]\\ & =& 2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}\right]\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, on a $f\left(x\right)=2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}\right]$.

      ---

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)⩽0& \iff & 2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}\right]⩽0\\ & \iff & {\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}⩽0\\ & \iff & \left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}+{\displaystyle \frac{11}{4}}\right)\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}-{\displaystyle \frac{11}{4}}\right)⩽0\\ & \iff & \left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(x-4\right)⩽0\end{array}$$

      Étudions le signe du produit $\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(x-4\right)$ à l'aide d'un tableau :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		4		$+\infty$
      $x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      $x-4$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $\left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(x-4\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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      L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$ est l'intervalle $I=\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};4\right]$.

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