Dérivation Continuité Convexité

III - Convexité

1 - fonction convexe, fonction concave

définitions

exemples

La fonction carré $x\mapsto x^2$ est convexe.	La fonction inverse $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ est concave sur $\left]-\infty ;0\right[$ et convexe sur $\left]0;+\infty \right[$.

remarque

Intuitivement, quels que soient les points A et B de la courbe ${𝒞}_f$ :

• Si le segment [AB] est au-dessus de la courbe alors f est convexe.
• Si le segment [AB] est au-dessous de la courbe alors f est concave.

f est convexe.	f est concave.

Théorème ( admis )

conséquence

exemple

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^5-5x^4$.
Étudier la convexité de la fonction f.

La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)=5x^4-20x^3$.

La dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie sur $ℝ$ par $$\begin{array}{rcl}f″\left(x\right)& =& 20x^3-60x^2\\ & =& 20x^2\left(x-3\right)\end{array}$$

Les variations de la dérivée $f\prime$ se déduisent du signe de sa dérivée $f″$.

Comme $20x^2⩾0$, on en déduit que $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\left(x-3\right)$. D'où le tableau :

x	$-\infty$		3		$+\infty$
Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
variations de $f\prime$
Convexité de f		f est concave		f est convexe

Ainsi, f est concave sur $\left]-\infty ;3\right]$ et convexe sur $\left[3;+\infty \right[$.

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2 - point d'inflexion

définition

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et ${𝒞}_f$ sa courbe représentative.
S'il existe un point A de la courbe ${𝒞}_f$ tel que la courbe traverse sa tangente en ce point, alors on dit que A est un point d'inflexion.

exemple

La courbe représentative de la fonction cube définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^3$ admet comme point d'inflexion l'origine $\mathrm{O}\left(0;0\right)$ du repère.

Soit ${𝒞}_f$ la courbe représentative de la fonction cube.
La tangente au point O à la courbe ${𝒞}_f$ est l'axe des abscisses d'équation $y=0$.

• Pour $x⩽0$, $f\left(x\right)⩽0$ donc la courbe ${𝒞}_f$ est au dessous de la tangente en O sur $\left]-\infty ;0\right]$.
• Pour $x⩾0$, $f\left(x\right)⩾0$ donc la courbe ${𝒞}_f$ est au dessus de la tangente en O sur $\left[0;+\infty \right[$.

La courbe ${𝒞}_f$ traverse sa tangente en O donc $\mathrm{O}\left(0;0\right)$ est un point d'inflexion.

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conséquences

• En un point d'inflexion la courbe traverse sa tangente : cela signifie que la fonction change de convexité.
• Si la dérivée $f\prime$ change de sens de variation en a alors la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse a.
• Si la dérivée seconde $f″$ s'annule en changeant de signe en a alors la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse a.

exemple

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^5-5x^4-40x+120$ et ${𝒞}_f$ sa courbe représentative.

La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)=5x^4-20x^3-40$.

La dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie sur $ℝ$ par $f″\left(x\right)=20x^3-60x^2=20x^2\left(x-3\right)$.

L'équation $f″\left(x\right)=0$ admet deux solutions $x_1=0$ et $x_2=3$. Comme $20x^2⩾0$, on en déduit que $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\left(x-3\right)$.

Les variations de $f\prime$ se déduisent du signe de sa dérivée $f″$. D'où le tableau :

x	$-\infty$		0		3		$+\infty$
Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
variations de $f\prime$					$-175$

En tenant compte des changements de variation de la dérivée $f\prime$ on en déduit que la courbe ${𝒞}_f$ admet un seul point d'inflexion, le point $A\left(3;f\left(3\right)\right)$. En effet :

• $f″\left(0\right)=0$ mais, sur l'intervalle $\left]-\infty ;3\right]$, $f\left(x\right)⩽0$ donc le point $B\left(0;120\right)$ de la courbe ${𝒞}_f$ d'abscisse 0, n'est pas un point d'inflexion. (La fonction f est concave sur $\left]-\infty ;3\right]$).
• $f″$ s'annule en 3 en changeant de signe donc le point $A\left(3;-162\right)$ est un point d'inflexion de la courbe ${𝒞}_f$. (La fonction f est concave sur $\left]-\infty ;3\right]$ et convexe sur $\left[3;+\infty \right[$).

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