Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
Intuitivement, dire que f est continue sur I signifie que sa courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou).
exemple et contre-exemple
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
On note la courbe représentative de la fonction f et A le point de la courbe d'abscisse a.
Pour tout réel x de l'intervalle I, on considère le point M de la courbe d'abscisse x.
La fonction f est continue. | La fonction f n'est pas continue en a. |
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.
remarque
La réciproque du théorème est fausse :
Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel.
Par exemple la fonction valeur absolue f définie sur par est contine en 0 mais n'est pas dérivable en 0.
conséquences
On admettra les deux propriétés suivantes :
Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.
Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur tout intervalle où elle est définie.
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et continue sur I alors elle vérifie la propriété suivante :
quels que soient les réels a et b de l'intervalle I, pour tout réel k compris entre et , l'équation admet au moins une solution c appartenant à l'intervalle .
Ce théorème résulte du fait que l'image d'un intervalle de par une fonction continue est un intervalle de .
f est continue sur I | f n'est pas continue sur I |
L'image de l'intervalle est un intervalle. | L'image de l'intervalle n'est pas un intervalle. |
remarque
Si la continuité assure l'existence d'un antécédent du réel k compris entre et , elle n'en garantit pas l'unicité.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de et a, b deux réels appartenant à I, avec .
Si f est continue et strictement monotone sur , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution uniquec appartenant à .
preuve
Soit k un réel compris entre et .
Existence
Par hypothèse, f est continue sur alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet au moins une solution c appartenant à .
Unicité
Supposons que l'équation admette deux solutions distinctes et appartenant à .
Par hypothèse, f est strictement monotone sur alors .
Ce qui aboutit à une contradiction puisque .
Donc , ce qui prouve que l'équation admet une solution unique dans .
conséquence
Si f est continue et strictement monotone sur et , alors l'équation admet une solution unique dans .
remarque
Le théorème s'applique aussi lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme , , , , , ou .
On considère la fonction f définie pour tout réel x par .
On cherche à résoudre l'équation
On note la dérivée de la fonction f. Calculer .
La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables.
Pour tout réel x, on a :
est la fonction définie pour tout réel x par .
Étudier les variations de la fonction f.
Les variations de la fonction f se déduisant du signe de sa dérivée, étudions le signe de . est une fonction polynôme du second degré. Le discriminant du trinôme est : .
donc le trinôme admet deux racines distinctes : et .
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
Nous pouvons déduire le tableau du signe de suivant les valeurs du réel x ainsi que les variations de la fonction f :
x | |||||||
− | + | − | |||||
3 |
Montrer que l'équation admet une solution unique α.
Sur l'intervalle , le minimum de la fonction f est égal à 3 donc pour tout réel x appartenant à l'intervalle on a . Par conséquent, sur cet intervalle, l'équation n'a pas de solution.
Sur l'intervalle la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante avec et . Soit alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution .
Ainsi, l'équation admet une unique solution . À l'aide de la calculatrice, on trouve .
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