cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Dérivation Continuité Convexité

II - Continuité

1 - notion de continuité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .
Intuitivement, dire que f est continue sur I signifie que sa courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou).

exemple et contre-exemple

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.
On note 𝒞f la courbe représentative de la fonction f et A le point de la courbe 𝒞f d'abscisse a.
Pour tout réel x de l'intervalle I, on considère le point M de la courbe 𝒞f d'abscisse x.

Fonction continue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Fonction non continue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

La fonction f est continue.
Pour tout réel a de I, on peut rendre f(x) aussi proche que l'on veut de f(a) pourvu que x soit suffisamment proche de a.

La fonction f n'est pas continue en a.
La courbe 𝒞f présente un saut au point d'abscisse a.
Le point M n'est pas proche du point a quand x est proche de a.

2 - propriétés

Théorème ( admis )

Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.

remarque

La réciproque du théorème est fausse :

Fonction valeur absolue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Une fonction peut être continue en un réel a sans être dérivable en ce réel.

Par exemple la fonction valeur absolue f définie sur par f(x)=|x| est contine en 0 mais n'est pas dérivable en 0.


conséquences

On admettra les deux propriétés suivantes :

  1. Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.

  2. Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur tout intervalle où elle est définie.

III - Continuité et équation

1 - théorème des valeurs intermédiaires

Théorème ( admis )

Si f est une fonction définie sur un intervalle I et continue sur I alors elle vérifie la propriété suivante :
quels que soient les réels a et b de l'intervalle I, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet au moins une solution c appartenant à l'intervalle [a;b].

Ce théorème résulte du fait que l'image d'un intervalle de par une fonction continue est un intervalle de .

f est continue sur If n'est pas continue sur I
Fonction continue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Fonction continue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

L'image de l'intervalle [a;b] est un intervalle.
Tout réel k compris entre f(a) et f(b) est l'image d'au moins un élément de l'intervalle [a;b].

L'image de l'intervalle [a;b] n'est pas un intervalle.
Il existe des réels k compris entre f(a) et f(b) pour lesquels l'équation f(x)=k n'a pas de solution.

remarque

Si la continuité assure l'existence d'un antécédent du réel k compris entre f(a) et f(b), elle n'en garantit pas l'unicité.

2 - corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de et a, b deux réels appartenant à I, avec a<b.
Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution uniquec appartenant à [a;b].

preuve

Soit k un réel compris entre f(a) et f(b).

  1. Existence

    Par hypothèse, f est continue sur [a;b] alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=k admet au moins une solution c appartenant à [a;b].

  2. Unicité

    Supposons que l'équation f(x)=k admette deux solutions distinctes c1 et c2 appartenant à [a;b].

    Par hypothèse, f est strictement monotone sur [a;b] alors c1c2f(c1)f(c2).
    Ce qui aboutit à une contradiction puisque f(c2)=f(c1)=k.

    Donc c1=c2, ce qui prouve que l'équation f(x)=k admet une solution unique dans [a;b].

conséquence

Si f est continue et strictement monotone sur [a;b] et f(a)×f(b)<0, alors l'équation f(x)=0 admet une solution unique dans [a;b].

remarque

Le théorème s'applique aussi lorsque f est continue et strictement monotone sur un intervalle de la forme [a;b[, ]a;b], ]a;b[, [a;+[, ]a;+[, ]-;b] ou ]-;b[.

Étude d'un exemple

On considère la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=-x33+x24+5x+283.
On cherche à résoudre l'équation f(x)=0

  1. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f(x).

    La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables.

    Pour tout réel x, on a :f(x)=-3x23+2x4+5=-x2+x2+5

    f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=-x2+x2+5.


  2. Étudier les variations de la fonction f.

    Les variations de la fonction f se déduisant du signe de sa dérivée, étudions le signe de f(x)=-x2+x2+5. f est une fonction polynôme du second degré. Le discriminant du trinôme est : Δ=(12)2-4×(-1)×5=814.

    Δ>0 donc le trinôme admet deux racines distinctes :x1=-12-92-2=52 et x2=-12+92-2=-2.

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
    Nous pouvons déduire le tableau du signe de f(x) suivant les valeurs du réel x ainsi que les variations de la fonction f :

    x--252+
    f(x)0||+0||
    f(x)fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    3

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    29116

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique α.

    • Sur l'intervalle ]-;52], le minimum de la fonction f est égal à 3 donc pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]-;52] on a f(x)3. Par conséquent, sur cet intervalle, l'équation f(x)=0 n'a pas de solution.

    • Sur l'intervalle [52;+[ la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante avec f(52)=29116 et f(6)=-713. Soit f(6)<0<f(52) alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution α[52;+[.

    Ainsi, l'équation f(x)=0 admet une unique solution α[52;+[. À l'aide de la calculatrice, on trouve α4,937.



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