Dire que la fonction f est dérivable au point a de son intervalle de définition signifie que le taux de variation admet une limite finie quand h tend vers zéro. Cette limite est appelée le nombre dérivé de f au point a. On le note .
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et sa courbe représentative dans un repère du plan.
Cliquer sur le bouton pour lancer l'animation et observer ce qui se passe quand h vers 0.
La droite passant par le point de la courbe et de coefficient directeur est la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et sa courbe représentative dans un repère du plan.
L'équation réduite de la tangente à la courbe au point a d'abscisse a est :
f définie sur … | f dérivable sur … | ||
k | 0 | ||
a | |||
pour tout entier | |||
pour tout entier | |||
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I :
Si n est un entier non nul |
Si la fonction v ne s'annule pas sur l'intervalle I ( sur I)
Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de .
Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de et la dérivée de f sur I.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de et un réel appartenant à I.
x | a | b | x | a | b | |||||||
− | + | + | − | |||||||||
minimum | maximum |
remarques
Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse en changeant de signe est importante.
Considérons la fonction cube définie sur par qui a pour dérivée la fonction définie sur par .
et, pour tout réel x non nul, .
La fonction cube est strictement croissante sur et n'admet pas d'extremum en 0.
Une fonction peut admettre un extremum local en sans être nécessairement dérivable.
Considérons la fonction valeur absolue f définie sur par .
f est définie sur par : .
f admet un minimum or la fonction f n'est pas dérivable en 0.
Soit f la fonction définie sur par .
On note la dérivée de la fonction f. Calculer .
Pour tout réel x, . Par conséquent, sur f est dérivable comme somme et quotient de fonctions dérivables. d'où avec pour tout réel x :
Soit pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie sur par .
Étudier les variations de la fonction f.
Les variations de la fonction f se déduisant du signe de sa dérivée, étudions le signe de :
Pour tout réel x, . Par conséquent, est du même signe que le polynôme du second degré avec , et .
Le discriminant du trinôme est soit
Comme , le trinôme a deux racines :
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
Nous pouvons déduire le tableau du signe de suivant les valeurs du réel x ainsi que les variations de la fonction f :
x | 0 | ||||||
+ | − | + | |||||
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