cours terminale ES obligatoire et L spécialité

Dérivation Continuité Convexité

I - Dérivées

1 - nombre dérivé

définition

Dire que la fonction f est dérivable au point a de son intervalle de définition signifie que le taux de variation f(a+h)-f(a)h admet une limite finie quand h tend vers zéro. Cette limite est appelée le nombre dérivé de f au point a. On le note f(a). f(a)=limh0f(a+h)-f(a)h

2 - Tangente à une courbe

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en aa est un réel de I, et 𝒞f sa courbe représentative dans un repère du plan.

Nombre dérivé et tangente : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Cliquer sur le bouton pour lancer l'animation et observer ce qui se passe quand h vers 0.

La droite passant par le point A(a;f(a)) de la courbe 𝒞f et de coefficient directeur f(a) est la tangente à la courbe 𝒞f au point d'abscisse a.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en aa est un réel de I, et 𝒞f sa courbe représentative dans un repère du plan.
L'équation réduite de la tangente à la courbe 𝒞f au point a d'abscisse a est : y=f(a)×(x-a)+f(a)

3 - Dérivées des fonctions de référence

f définie sur …f(x)f(x)f dérivable sur …
k0
ax+ba
xnnxn-1 pour tout entier n2
*1x-1x2*
*1xn-nxn+1* pour tout entier n1
[0;+[x12x]0;+[
exex
]0;+[ln(x)1x]0;+[

4 - Dérivées et opérations

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I :

(u+v)=u+v

(ku)=ku

(uv)=uv+uv

(u2)=2uu

Si n est un entier non nul (un)=nun-1u

Si la fonction v ne s'annule pas sur l'intervalle I (v(x)0 sur I)

(1v)=-vv2(uv)=uv-uvv2

5 - Dérivée et variations d'une fonction

Théorème 1

Soit f une fonction dérivable et monotone sur un intervalle I de .

  • Si f est constante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f(x)=0.
  • Si f est croissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f(x)0.
  • Si f est décroissante sur I, alors pour tout réel x appartenant à I, f(x)0.

Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.

Théorème 2

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de et f la dérivée de f sur I.

  • Si f est nulle sur I, alors f est constante sur I.
  • Si f est strictement positive sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f est strictement négative sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur I.

Théorème 3

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de et x0 un réel appartenant à I.

  • Si f admet un extremum local en x0, alors f(x0)=0.
  • Si la dérivée f s'annule en x0en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.
xax0bxax0b
f(x)0||+f(x)+0||
f(x)fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

minimum

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.f(x)fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

maximum

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

remarques

  1. Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse en changeant de signe est importante.

    Fonction cube : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Considérons la fonction cube définie sur par f(x)=x3 qui a pour dérivée la fonction f définie sur par f(x)=3x2.

    f(x0)=0 et, pour tout réel x non nul, f(x0)>0.

    La fonction cube est strictement croissante sur et n'admet pas d'extremum en 0.


  2. Une fonction peut admettre un extremum local en x0 sans être nécessairement dérivable.

    Fonction valeur absolue : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Considérons la fonction valeur absolue f définie sur par f(x)=|x|.

    f est définie sur par : f(x)={xsi x0-xsi x<0.

    f admet un minimum f(0)=0 or la fonction f n'est pas dérivable en 0.


Étude d'un exemple

Soit f la fonction définie sur par f(x)=1-4x-3x2+1.

  1. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f(x).

    Pour tout réel x, x2+11. Par conséquent, sur f est dérivable comme somme et quotient de fonctions dérivables. f=1-uv d'où f=0-uv-uvv2 avec pour tout réel x : {u(x)=4x-3d'oùu(x)=4 et v(x)=x2+1 d'où v(x)=2x

    Soit pour tout réel x, f(x)=-4×(x2+1)-(4x-3)×(2x)(x2+1)2=-4x2+4-8x2+6x(x2+1)2=4x2-6x-4(x2+1)2

    Ainsi, f est la fonction définie sur par f(x)=4x2-6x-4(x2+1)2.


  2. Étudier les variations de la fonction f.

    Les variations de la fonction f se déduisant du signe de sa dérivée, étudions le signe de f(x)=4x2-6x-4(x2+1)2 :

    Pour tout réel x, (x2+1)2>0. Par conséquent, f(x) est du même signe que le polynôme du second degré 4x2-6x-4 avec a=4, b=-6 et b=-4.

    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac soit Δ=(-6)2-4×4×(-4)=100=102

    Comme Δ>0, le trinôme a deux racines : x1=-b-Δ2asoitx1=6-108=-12etx2=-b+Δ2asoitx2=6+108=4

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
    Nous pouvons déduire le tableau du signe de f(x) suivant les valeurs du réel x ainsi que les variations de la fonction f :

    x--0,50+
    f(x)+0||0||+
    f(x)fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    5

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    0

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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