Fonction exponentielle

II - La fonction exponentielle

On admet que parmi toutes les fonctions exponentielles de base q il existe une seule fonction dont le nombre dérivé en 0 soit égal à 1.

Autrement dit, il existe une seule valeur du réel q telle que la tangente au point $A\left(0;1\right)$ de la courbe représentative de la fonction $x\mapsto q^x$ a pour coefficient directeur 1.

Cette valeur particulière du réel q est notée e.
Le nombre e est un irrationnel une valeur approchée est : $\mathrm{e}\approx \mathrm{2,71828}$.

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1 - définition

La fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ s'appelle la fonction exponentielle de base e ou plus simplement exponentielle.
On la note exp$$\exp :x\mapsto {\mathrm{e}}^x$$

conséquences

• La fonction exponentielle est définie pour tout réel x par $\exp \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$.
• $\exp \left(0\right)={\mathrm{e}}^0=1$, $\exp \left(1\right)={\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}$, $\exp \left(-1\right)={\mathrm{e}}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$ et $\exp \left(\mathrm{0,5}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}=\sqrt{\mathrm{e}}$.
• La fonction exponentielle est strictement positive sur $ℝ$ : pour tout nombre réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$.
• La fonction exponentielle est dérivable sur $ℝ$ et son nombre dérivé en 0 est 1 : $\exp \prime \left(0\right)=1$.
• Pour tous réels x et y, et pour tout entier relatif m :
  ${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^y$, ${\mathrm{e}}^{-x}={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}$, ${\mathrm{e}}^{x-y}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^y}}$ et ${\left({\mathrm{e}}^x\right)}^m={\mathrm{e}}^{mx}$.

2 - dérivée de la fonction exponentielle

La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle. Pour tout nombre réel x, $$\exp \prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$$

preuve

Pour tout réel x et pour tout réel $h\ne 0$, $${\displaystyle \frac{\exp \left(x+h\right)-\exp \left(x\right)}{h}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{x+h}-{\mathrm{e}}^x}{h}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^h-{\mathrm{e}}^x}{h}}={\mathrm{e}}^x\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^h-1}{h}}$$

Or le nombre dérivé $\exp \prime \left(0\right)=1$, d'où $\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{0+h}-{\mathrm{e}}^0}{h}}=1$ soit $\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^h-1}{h}}=1$.

On en déduit que pour tout réel x, $\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\exp \left(x+h\right)-\exp \left(x\right)}{h}}=\underset{h\to 0}{\lim }{\mathrm{e}}^x\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^h-1}{h}}={\mathrm{e}}^x$. Soit $\exp \prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x$.

3 - variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $ℝ$.

preuve

La fonction exponentielle est dérivable sur $ℝ$ et est égale à sa dérivée.
Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$. On en déduit que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ℝ$.

conséquences

exemples

1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\mathrm{e}}^{1-3x}<{\mathrm{e}}^{2x-3}$.

   Pour tour réel x, $$\begin{array}{rcl}{\mathrm{e}}^{1-3x}<{\mathrm{e}}^{2x+3}& \iff & 1-3x<2x+3\\ & \iff & -5x<2\\ & \iff & x>-{\displaystyle \frac{2}{5}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'inéquation ${\mathrm{e}}^{1-3x}<{\mathrm{e}}^{2x-3}$ est $S=\left]-{\displaystyle \frac{2}{5}};+\infty \right[$.

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2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\mathrm{e}}^{x^2-1}⩾1$.

   Pour tour réel x, $$\begin{array}{rcl}{\mathrm{e}}^{x^2-1}⩾1& \iff & {\mathrm{e}}^{x^2-1}⩾{\mathrm{e}}^0\\ & \iff & x^2-1⩾0\\ & \iff & \left(x+1\right)\left(x-1\right)⩾0\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'inéquation ${\mathrm{e}}^{x^2-1}⩾1$ est $S=\left]-\infty ;-1\right]\cup \left[1;+\infty \right[$.

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4 - courbe représentative

convexité

La fonction exponentielle est convexe sur $ℝ$.

preuve

La fonction exponentielle est dérivable sur $ℝ$ et est égale à sa dérivée.
Par conséquent, la dérivée de la fonction exponentielle étant strictement croissante, on en déduit que la fonction exponentielle est est convexe sur $ℝ$.

limites

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$

tangentes

1. La tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0 a pour équation : $y=x+1$.

2. La tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 1 a pour équation : $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^1\times \left(x-1\right)+{\mathrm{e}}^1& \iff & y=\mathrm{e}x\end{array}$$.

remarque

La courbe représentative de la fonction exponentielle est située au dessus de la droite Δ d'équation $y=x$.

preuve

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-x$.

La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables. Pour tout réel x on a $$f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x-1$$

les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. d'où le tableau des variations de la fonction f :

x	$-\infty$		3		$+\infty$
$f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
$f\left(x\right)$			1

Le minimum de la fonction f est égal à 1 donc pour tout réel x on a $f\left(x\right)⩾1$.

On en déduit que pour tout réel x on a $f\left(x\right)>0$. Soit pour tout réel x :$$\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^x-x>0& \iff & {\mathrm{e}}^x>x\end{array}$$

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