Fonction exponentielle

III - Exponentielle d'une fonction

1 - notation

On considère une fonction u définie sur un intervalle I.
La composée de la fonction u suivie de la fonction exponentielle est la fonction f notée $f={\mathrm{e}}^u$.

exemples de fonctions composées

• La fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-3}$ est la composée de la fonction affine u définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=\mathrm{0,5}x-3$ suivie de la fonction exponentielle. La fonction $f={\mathrm{e}}^u$ s'obtient à l'aide du montage suivant :$$f:x\stackrel{\text{fonction }u}{\mapsto }\mathrm{0,5}x-3\stackrel{\text{fonction }\exp }{\mapsto }\underset{f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}}{\underbrace{{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x-3}}}$$

• La fonction g définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^x-3$ est la composée de la fonction exponentielle suivie de la fonction affine u définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=\mathrm{0,5}x-3$ . La fonction g s'obtient à l'aide du montage suivant :$$g:x\stackrel{\text{fonction }\exp }{\mapsto }{\mathrm{e}}^x\stackrel{\text{fonction }u}{\mapsto }\underset{g\left(x\right)=u\left({\mathrm{e}}^x\right)}{\underbrace{\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^x-3}}$$

2 - dérivée

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction ${\mathrm{e}}^u$ est dérivable sur I et

exemples

1. Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}$. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   Pour tout réel x, on pose $u\left(x\right)=-x$. La fonction u est dérivable sur $ℝ$ et $u\prime \left(x\right)=-1$.

   Par conséquent, la fonction f est dérivable sur $ℝ$ et $f\prime \left(x\right)=-1\times {\mathrm{e}}^{-x}$. Soit $f\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}$.

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2. Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}{x}^2-2x+1}$. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   Pour tout réel x, on pose $u\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2-2x+1$. La fonction u est dérivable sur $ℝ$ et $u\prime \left(x\right)=x-2$.

   Par conséquent, la fonction f est dérivable sur $ℝ$ et $f\prime \left(x\right)=\left(x-2\right)\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}{x}^2-2x+1}$.

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3 - variation

Les fonctions u et ${\mathrm{e}}^u$ ont les mêmes variations sur tout intervalle I où u est définie.

preuve

Soient $a<b$ deux réels de l'intervalle I. Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, ${\mathrm{e}}^{u\left(a\right)}$ et ${\mathrm{e}}^{u\left(b\right)}$ sont dans le même ordre que les réels $u\left(a\right)$ et $u\left(b\right)$ :

• Si u est strictement décroissante sur I alors $a<b\iff u\left(a\right)>u\left(b\right)$ d'où ${\mathrm{e}}^{u\left(a\right)}>{\mathrm{e}}^{u\left(b\right)}$

  Ainsi, si u est strictement décroissante sur I alors, la fonction $f={\mathrm{e}}^u$ est strictement décroissante sur I.

• Si u est strictement croissante sur I alors $a<b\iff u\left(a\right)<u\left(b\right)$ d'où ${\mathrm{e}}^{u\left(a\right)}<{\mathrm{e}}^{u\left(b\right)}$

  Ainsi, si u est strictement croissante sur I alors, la fonction $f={\mathrm{e}}^u$ est strictement croissante sur I.

remarque

Si u est dérivable sur I, alors la fonction $f={\mathrm{e}}^u$ est dérivable sur I et pour tout réel $x\in I$, $f\prime \left(x\right)=u\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$.

Or pour tout réel $x\in I$, ${\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $u\prime \left(x\right)$.

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