Fonction exponentielle

I - Fonctions exponentielles de base q

1 - fonctions exponentielles $f:x\mapsto q^x$, avec $q>0$

Soit q un nombre strictement positif. La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier n par $u_n=q^n$ est une suite géométrique de raison q.
La fonction exponentielle de base q est le prolongement par continuité de cette suite géométrique.

définition

Soit q un réel strictement positif.
La fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=q^x$ s'appelle la fonction exponentielle de base q.
On admet que cette fonction est dérivable sur $ℝ$.

exemple

La fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{0,8}}^x$ est la fonction exponentielle de base 0,8.
Une valeur approchée de l'image de $-\mathrm{5,3}$ est obtenue à la calculatrice en tapant la séquence : 0.8 ˄ ( - 5.3 ).

relation fonctionnelle

La fonction exponentielle f de base $q>0$ transforme les sommes en produits. Pour tous réels x et y :$$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)\times f\left(y\right)$$ Autrement dit, pour tous réels x et y : $q^{x+y}=q^x\times q^y$.

conséquences

Soit q un réel strictement positif.

1. Pour tous réels x et y, $q^{-x}={\displaystyle \frac{1}{q^x}}$ et $q^{x-y}={\displaystyle \frac{q^x}{q^y}}$.

   En effet :

   • $q^0=q^{x-x}=q^x\times q^{-x}$. Soit $1=q^x\times q^{-x}$ donc $q^x\ne 0$ et $q^{-x}={\displaystyle \frac{1}{q^x}}$.
   • Pour tous réels x et y, $q^{x-y}=q^{x+\left(-y\right)}=q^x\times q^{-y}={\displaystyle \frac{q^x}{q^y}}$

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2. Pour tout réel x, $q^x>0$.

   En effet :
   Pour tout réel x, $q^x=q^{\frac{x}{2}}\times q^{\frac{x}{2}}={\left(q^{\frac{x}{2}}\right)}^2$. Comme $q^x\ne 0$, on en déduit que $q^x>0$.

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3. Pour tout réel x, $q^{\frac{x}{2}}=\sqrt{q^x}$ en particulier, $q^{\mathrm{0,5}}=\sqrt{q}$.

   En effet :
   Pour tout réel x, $q^x={\left(q^{\frac{x}{2}}\right)}^2$. Comme $q^x\ne 0$, on en déduit que $q^{\frac{x}{2}}=\sqrt{q^x}$.

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4. Pour tout réel x et tout entier relatif m, ${\left(q^x\right)}^m=q^{mx}$.

   Propriété usuelle des exposants entiers relatifs.

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5. Pour tout entier naturel $n>0$, $q^{\frac{1}{n}}$ est « la racine n-ième » de q

   Pour tout entier naturel $n>0$, comme ${\displaystyle \frac{1}{n}}\times n=1$, alors $q^{\frac{1}{n}}$ est le nombre tel que ${\left(q^{\frac{1}{n}}\right)}^n=q$

exemple

Une entreprise s'est fixé comme objectif de réduire de 30 % ses émissions de gaz à effet de serre d'ici quinze ans. Calculons le pourcentage d'évolution annuel moyen des émissions de gaz à effet de serre pour atteidre cet objectif.

Soit t % le pourcentage d'évolution annuel moyen des émissions de gaz à effet de serre. On a :

$$\begin{array}{rcl}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^{15}=1-{\displaystyle \frac{30}{100}}& \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\mathrm{0,7}}^{\frac{1}{15}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\mathrm{0,7}}^{\frac{1}{15}}-1\\ & \text{soit}& {\displaystyle \frac{t}{100}}\approx -\mathrm{0,0235}\end{array}$$

Pour atteindre son objectif, cette entreprise doit réduire chaque année, ses émissions de gaz à effet de serre d'environ 2,35 %.

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2 - sens de variation

En continuité avec les suites numériques, on admet que le sens de variation de la fonction exponentielle de base q avec $q>0$ est le même que celui de la suite géométrique associée :

conséquence

Si $q>0$ et $q\ne 1$, alors pour tous nombres réels a et b : $q^a=q^b$ si, et seulement si, $a=b$.

3 - propriétés

$0<q<1$	$q>1$
La fonction exponentielle de base q est strictement décroissante sur $ℝ$.	La fonction exponentielle de base q est strictement croissante sur $ℝ$.
$\underset{x\to -\infty }{\lim }{q}^x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{q}^x=0$	$\underset{x\to -\infty }{\lim }{q}^x=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{q}^x=+\infty$
La fonction fonction exponentielle de base q est convexe sur $ℝ$

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