cours terminale ES enseignement de spécialité

Introduction au calcul matriciel

II - matrices et opérations

1 - transposée d'une matrice

La transposée ${}^{t}A$ (aussi notée $A^{T}$ ) d'une matrice A de dimension $m \times n$ est la matrice de dimension $n \times m$ obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.

exemple

La transposée de la matrice $P = (\begin{array}{r} 60 & 50 & 0 \\ 70 & 90 & 120 \end{array})$ de dimension $2 \times 3$ est la matrice ${}^{t}P = (\begin{array}{r} 60 & 70 \\ 50 & 90 \\ 0 & 120 \end{array})$ de dimension $3 \times 2$ .

2 - addition de matrices

La somme de deux matrices A et B de même dimension est la matrice notée $A + B$ obtenue en ajoutant les éléments de A et ceux de B situés à la même place.
Si $A = {(a_{i, j})}_{\begin{matrix} 1 ⩽ i ⩽ m \\ 1 ⩽ j ⩽ n \end{matrix}}$ et $B = {(b_{i, j})}_{\begin{matrix} 1 ⩽ i ⩽ m \\ 1 ⩽ j ⩽ n \end{matrix}}$ sont deux matrices d'ordre $m \times n$ alors $A + B = {(a_{i, j} + b_{i, j})}_{\begin{matrix} 1 ⩽ i ⩽ m \\ 1 ⩽ j ⩽ n \end{matrix}}$

exemple

Soient les matrices $P_{0} = (\begin{array}{r} 50 & 40 & 0 \\ 70 & 90 & 120 \end{array})$ et $P_{1} = (\begin{array}{r} 60 & 50 & 30 \\ 80 & 90 & 110 \end{array})$ : $P_{0} + P_{1} = (\begin{array}{r} 50 + 60 & 40 + 50 & 0 + 30 \\ 70 + 80 & 90 + 90 & 120 + 110 \end{array}) = (\begin{array}{r} 110 & 90 & 30 \\ 150 & 180 & 230 \end{array})$

propriétés

Si A, B et C sont des matrices de même dimension alors :

$A + B = B + A$
$A + (B + C) = (A + B) + C$

3 - multiplication par un réel

Le produit d'une matrice A par un réel k est la matrice $k A$ obtenue en multipliant chaque élément de A par le réel k.
Si $A = {(a_{i, j})}_{\begin{matrix} 1 ⩽ i ⩽ m \\ 1 ⩽ j ⩽ n \end{matrix}}$ est une matrice d'ordre $m \times n$ alors pour tout réel k $k A = {(k a_{i, j})}_{\begin{matrix} 1 ⩽ i ⩽ m \\ 1 ⩽ j ⩽ n \end{matrix}}$ .

exemple

Si $P = (\begin{array}{r} 60 & 50 & 0 \\ 70 & 90 & 120 \end{array})$ alors : $\frac{4}{5} \times P = (\begin{array}{r} \frac{4}{5} \times 60 & \frac{4}{5} \times 50 & \frac{4}{5} \times 0 \\ \frac{4}{5} \times 70 & \frac{4}{5} \times 90 & \frac{4}{5} \times 120 \end{array}) = (\begin{array}{r} 48 & 40 & 0 \\ 56 & 72 & 96 \end{array})$

propriété

Soient A et B deux matrices de même dimension et k un réel on a : $k (A + B) = k A + k B$ .

4 - produit de matrices

multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne

Soient A une matrice ligne de dimension $1 \times n$ et B une matrice colonne de dimension $n \times 1$ .
Le produit $A \times B$ de ces deux matrices est : $(\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{i} & \dots & a_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{i} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) = (a_{1} \times b_{1} + \dots + a_{i} \times b_{i} + \dots + a_{n} \times b_{n})$ Le produit $A \times B$ de ces deux matrices est la matrice de dimension $1 \times 1$ qui n'a qu'un seul élément.

exemple

$(\begin{matrix} 35 & 20 & - 10 \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} 8 \\ - 5 \\ 12 \end{array}) = (35 \times 8 + 20 \times (- 5) + (- 10) \times 12) = (60)$

produit de deux matrices

Si $A = {(a_{i, k})}_{\begin{matrix} 1 ⩽ i ⩽ m \\ 1 ⩽ k ⩽ n \end{matrix}}$ est une matrice de dimension $m \times n$ et si $B = {(b_{k, j})}_{\begin{matrix} 1 ⩽ k ⩽ n \\ 1 ⩽ j ⩽ p \end{matrix}}$ est une matrice de dimension $n \times p$ , le produit des deux matrices $C = A \times B = {(\sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} \times b_{k, j})}_{\begin{matrix} 1 ⩽ i ⩽ m \\ 1 ⩽ j ⩽ p \end{matrix}}$ est une matrice de dimension $m \times p$ .
Chaque élément $c_{i, j}$ de la matrice C est le produit de la matrice constituée de la i-ième ligne de la matrice A par la matrice constituée de la j-ième colonne de la matrice B ( $1 ⩽ i ⩽ m$ et $1 ⩽ j ⩽ p$ ).

En pratique, il est commode de disposer les deux matrices de la façon suivante pour effectuer le produit :

exemple

Soient les deux matrices $A = (\begin{matrix} 0,2 & 1,5 \\ 0,8 & 0,6 \end{matrix})$ et $B = (\begin{matrix} - 2 & 3 & 4 \\ 0,5 & - 1 & 5 \end{matrix})$ .

La matrice A est d'ordre $2 \times 2$ et la matrice B est d'ordre $2 \times 3$ . Le produit $C = C \times B$ est une matrice d'ordre $2 \times 3$ :

L'élément $c_{1, 1}$ de la matrice C s'obtient en effectuant le produit de la première ligne de la matrice A par la première colonne de la matrice B $c_{1, 1} = (\begin{matrix} 0,2 & 1,5 \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} - 2 \\ 0,5 \end{array}) = (- 0,2 \times 2 + 1,5 \times 0,5) = (0,35)$
L'élément $c_{1, 2}$ de la matrice C s'obtient en effectuant le produit de la première ligne de la matrice A par la deuxième colonne de la matrice B $c_{1, 2} = (\begin{matrix} 0,2 & 1,5 \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} 3 \\ - 1 \end{array}) = (0,2 \times 3 - 1,5 \times 1) = (- 0,9)$
L'élément $c_{1, 3}$ de la matrice C s'obtient en effectuant le produit de la première ligne de la matrice A par la troisième colonne de la matrice B $c_{1, 3} = (\begin{matrix} 0,2 & 1,5 \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} 4 \\ 5 \end{array}) = (0,2 \times 4 + 1,5 \times 5) = (8,3)$
L'élément $c_{2, 1}$ de la matrice C s'obtient en effectuant le produit de la deuxième ligne de la matrice A par la première colonne de la matrice B $c_{2, 1} = (\begin{matrix} 0,8 & 0,6 \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} - 2 \\ 0,5 \end{array}) = (- 0,8 \times 2 + 0,6 \times 0,5) = (- 1,3)$
L'élément $c_{2, 2}$ de la matrice C s'obtient en effectuant le produit de la deuxième ligne de la matrice A par la deuxième colonne de la matrice B $c_{2, 2} = (\begin{matrix} 0,8 & 0,6 \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} 3 \\ - 1 \end{array}) = (0,8 \times 3 - 0,6 \times 1) = (1,8)$
L'élément $c_{2, 3}$ de la matrice C s'obtient en effectuant le produit de la deuxième ligne de la matrice A par la troisième colonne de la matrice B $c_{2, 3} = (\begin{matrix} 0,8 & 0,6 \end{matrix}) \times (\begin{array}{r} 4 \\ 5 \end{array}) = (0,8 \times 4 + 0,6 \times 5) = (6,2)$

Soit en définitive : $C = (\begin{matrix} 0,2 & 1,5 \\ 0,8 & 0,6 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 2 & 3 & 4 \\ 0,5 & - 1 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,35 & - 0,9 & 8,3 \\ - 1,3 & 1,8 & 6,2 \end{matrix})$

remarque

Si le nombre de colonnes de la matrice B est différent du nombre de lignes de la matrice A, le produit $B \times A$ n'est pas défini !

propriétés

Soient A, B et C trois matrices telles que les sommes et les produits ci-dessous sont définis :

$A \times (B \times C) = (A \times B) \times C$
$A \times (B + C) = A \times B + A \times C$
$(A + B) \times C = A \times C + B \times C$

remarques

En général $A \times B \neq B \times A$ . Le produit de deux matrices n'est pas commutatif, il faut faire attention à l'ordre dans lequel on effectue les calculs.

exemple

$\begin{aligned} (\begin{array}{r} - 3 & - 2 \\ 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{r} - 1 & - 2 & 2 \\ 1 & 3 & - 3 \end{array}) = (\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}) \\ et & (\begin{array}{r} - 1 & - 2 & 2 \\ 1 & 3 & - 3 \end{array}) \times (\begin{array}{r} - 3 & - 2 \\ 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{r} - 1 & - 2 \\ 3 & 4 \end{array}) \end{aligned}$

$A \times C = B \times C$ ne signifie pas que $A = B$ .

exemple

$\begin{aligned} (\begin{array}{r} - 3 & - 2 & 1 \\ 2 & 4 & - 7 \end{array}) \times (\begin{array}{r} - 1 & 3 \\ 2 & - 5 \\ 1 & - 2 \end{array}) = (\begin{array}{r} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \\ et & (\begin{array}{r} 2 & 3 & - 4 \\ 1 & 3 & - 6 \end{array}) \times (\begin{array}{r} - 1 & 3 \\ 2 & - 5 \\ 1 & - 2 \end{array}) = (\begin{array}{r} 0 & - 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \end{aligned}$

$A \times B = 0$ ne signifie pas que $A = 0$ ou $B = 0$ .

exemple

$(\begin{array}{r} 4 & - 2 & 2 \\ - 6 & 3 & - 3 \end{array}) \times (\begin{array}{r} - 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 2 & - 3 \\ 5 & - 6 & - 5 \end{array}) = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

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