Lois de probabilité à densité

II - Loi uniforme

1 - Définition

Soient a et b deux réels tels que $a<b$. Dire qu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ signifie que sa densité de probabilité est la fonction f définie sur $\left[a;b\right]$ par $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{b-a}}$.

remarque

La fonction f définie sur $\left[a;b\right]$ par $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{b-a}}$ est une densité de probabilité sur $\left[a;b\right]$ :

• f est continue et positive sur $\left[a;b\right]$.
• ${\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}\mathrm{d}t={\left[{\displaystyle \frac{t}{b-a}}\right]}_a^b={\displaystyle \frac{b}{b-a}}-{\displaystyle \frac{a}{b-a}}=1$

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2 - Propriété

X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$.
Pour tout intervalle $\left[c;d\right]$ inclus dans $\left[a;b\right]$, $P\left(c⩽X⩽d\right)={\displaystyle \frac{d-c}{b-a}}$.

démonstration

$$\begin{array}{rcl}P\left(c⩽X⩽d\right)& =& {\displaystyle {\int }_c^d}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}\mathrm{d}t={\left[{\displaystyle \frac{t}{b-a}}\right]}_c^d\\ & =& {\displaystyle \frac{d}{b-a}}-{\displaystyle \frac{c}{b-a}}={\displaystyle \frac{d-c}{b-a}}\end{array}$$

3 - Espérance mathématique

Soient a et b deux réels tels que $a<b$.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ est le réel $E\left(X\right)={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$

démonstration

Par définition : $$\begin{array}{rcl}E\left(X\right)& =& {\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{t}{b-a}}\mathrm{d}t={\left[{\displaystyle \frac{t^2}{2\left(b-a\right)}}\right]}_a^b\\ & =& {\displaystyle \frac{b^2-a^2}{2\left(b-a\right)}}={\displaystyle \frac{\left(b+a\right)\times \left(b-a\right)}{2\left(b-a\right)}}={\displaystyle \frac{a+b}{2}}\end{array}$$

exemple

La variable aléatoire T suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};\mathrm{9,5}\right]$, donc la densité de probabilité est la fonction f définie sur $\left[\mathrm{0,5};\mathrm{9,5}\right]$ par $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{9,5}-\mathrm{0,5}}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$.

1. La probabilité que le temps d'attente soit inférieur à 2 minutes est $P\left(X⩽2\right)={\displaystyle \frac{2-\mathrm{0,5}}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.

2. La probabilité que le temps d'attente soit supérieur à 3 minutes est $P\left(X⩾3\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{9,5}-3}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{13}{18}}$.

3. L'espérance mathématique de T est $E\left(T\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}+\mathrm{9,5}}{2}}=5$. Le temps d'attente moyen auprès du standard téléphonique est de 5 minutes.

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