Lois de probabilité à densité

I - Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire pouvant prendre toute valeur d'un intervalle I de $ℝ$ est dite continue.

1 - Fonction de densité

Soit I un intervalle de $ℝ$. On appelle fonction de densité de probabilité sur I toute fonction f définie, continue et positive sur I telle que l'intégrale de f sur I soit égale à 1.

exemple

Soit f la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;\mathrm{1,5}\right]$ par $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{64t^3}{27}}-{\displaystyle \frac{64t^2}{9}}+{\displaystyle \frac{16t}{3}}$.
Vérifions que la fonction f est une fonction de densité de probabilité sur $\left[0;\mathrm{1,5}\right]$.

• La fonction f est dérivable sur $\left[0;\mathrm{1,5}\right]$ donc f est continue.
• Pour tout réel t, $${\displaystyle \frac{64t^3}{27}}-{\displaystyle \frac{64t^2}{9}}+{\displaystyle \frac{16t}{3}}={\displaystyle \frac{16t\left(4t^2-12t+9\right)}{27}}={\displaystyle \frac{16t{\left(2t-3\right)}^2}{27}}$$ Par conséquent, sur l'intervalle $\left[0;\mathrm{1,5}\right]$, la fonction f est positive.
• Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur sur $\left[0;\mathrm{1,5}\right]$ par $F\left(t\right)={\displaystyle \frac{16t^4}{27}}-{\displaystyle \frac{64t^3}{27}}+{\displaystyle \frac{8t^2}{3}}$ d'où $${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{1,5}}}f\left(t\right)\mathrm{d}t=F\left(\mathrm{1,5}\right)-F\left(0\right)=1$$

Ainsi, f est une fonction de densité de probabilité sur $\left[0;\mathrm{1,5}\right]$.

2 - Loi de probabilité

Soit f une fonction de densité de probabilité sur un intervalle I.
On dit que la variable aléatoire X suit la loi de probabilité de densité f sur l'intervalle I lorsque, pour tout intervalle $\left[a;b\right]$ inclus dans I, la probabilité de l'événement $X\in \left[a;b\right]$ est :$$P\left(X\in \left[a;b\right]\right)=P\left(a⩽X⩽b\right)={\displaystyle {\int }_a^b}f\left(t\right)\mathrm{d}t$$

remarque

$P\left(a⩽X⩽b\right)$ est la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine compris entre la courbe ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=a$.

exemple

On modélise à l'aide d'une variable aléatoire X la durée en heure du temps d'attente aux consultations d'un hôpital fictif avec $X\in \left[0;\mathrm{1,5}\right]$ suivant la loi de probabilité de densité la fonction f définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;\mathrm{1,5}\right]$ par $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{64t^3}{27}}-{\displaystyle \frac{64t^2}{9}}+{\displaystyle \frac{16t}{3}}$.

• La probabilité que le temps d'attente soit inférieur à 18 minutes est $P\left(X<\mathrm{0,3}\right)={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,3}}}f\left(t\right)\mathrm{d}t=\mathrm{0,1808}$
• La probabilité que le temps d'attente soit compris entre 15 et 45 minutes est $P\left({\displaystyle \frac{1}{4}}⩽X⩽{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)={\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,25}}^{\mathrm{0,75}}}f\left(t\right)\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{5}{9}}$
• La probabilité que le temps d'attente soit supérieur à une demi-heure est $P\left(X⩾\mathrm{0,5}\right)=1-P\left(X<\mathrm{0,5}\right)=1-{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{0,5}}}f\left(t\right)\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{16}{27}}$

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propriétés

3 - Espérance mathématique

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité f sur l'intervalle $\left[a;b\right]$, alors l'espérance mathématique de X est le réel $$E\left(X\right)={\displaystyle {\int }_a^b}t\times f\left(t\right)\mathrm{d}t$$

exemple

Calculons l'espérance mathématique de la variable aléatoire X mesurant la durée en heure du temps d'attente aux consultations dont la fonction de densité f est définie sur $\left[0;\mathrm{1,5}\right]$ par $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{64t^3}{27}}-{\displaystyle \frac{64t^2}{9}}+{\displaystyle \frac{16t}{3}}$.

$$\begin{array}{rcl}E\left(X\right)& =& {\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{1,5}}}t\times f\left(t\right)\mathrm{d}t\\ & =& {\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{1,5}}}\left({\displaystyle \frac{64t^4}{27}}-{\displaystyle \frac{64t^3}{9}}+{\displaystyle \frac{16t^2}{3}}\right)\mathrm{d}t\\ & =& {\left[{\displaystyle \frac{64t^5}{135}}-{\displaystyle \frac{16t^4}{9}}+{\displaystyle \frac{16t^3}{9}}\right]}_0^{\mathrm{1,5}}\\ & =& \mathrm{3,6}-9+6\\ & =& \mathrm{0,6}\end{array}$$

Le temps d'attente moyen aux consultations est de 0,6 h soit 36 minutes.

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4 - Probabilité conditionnelle

Soient X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité f sur un intervalle I, $J_1$ et $J_2$ deux intervalles de I tel que $P\left(X\in J_1\right)\ne 0$.
La probabilité conditionnelle de l'évènement $X\in J_2$ sachant que l'évènement $X\in J_1$ est réalisé est :$$P_{X\in J_1}\left(X\in J_2\right)={\displaystyle \frac{P\left(X\in J_1\cap J_2\right)}{P\left(X\in J_1\right)}}$$

exemple

Calculons la probabilité que le temps d'attente d'une personne soit inférieur à une heure sachant qu'elle a patienté plus d'une demi-heure.

Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle $P_{X>\mathrm{0,5}}\left(X⩽1\right)={\displaystyle \frac{P\left(\mathrm{0,5}<X⩽1\right)}{P\left(X>\mathrm{0,5}\right)}}$.

Or $P\left(X>\mathrm{0,5}\right)={\displaystyle \frac{16}{27}}$ et, $P\left(\mathrm{0,5}<X⩽1\right)={\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,5}}^1}\left({\displaystyle \frac{64t^3}{27}}-{\displaystyle \frac{64t^2}{9}}+{\displaystyle \frac{16t}{3}}\right)\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{13}{27}}$ d'où $$P_{X>\mathrm{0,5}}\left(X⩽1\right)={\displaystyle \frac{\frac{13}{27}}{\frac{16}{27}}}={\displaystyle \frac{13}{16}}=\mathrm{0,8125}$$

Ainsi, la probabilité que le temps d'attente d'une personne qui a patienté plus d'une demi-heure soit inférieur à une heure est égale à 0,8125.

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