cours terminale ES obligatoire et L spécialité

compléments sur les suites

II - Limite d'une suite

On étudie le comportement d'une suite $(u_{n})$ quand n prend de grandes valeurs.

1 - Limite infinie

Définition

On dit qu'une suite $(u_{n})$ admet une limite égale à $+ \infty$ quand n tend vers $+ \infty$ si pour tout nombre réel A strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs à A à partir d'un certain rang p. On écrit : $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$

Concrètement, une suite $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si $u_{n}$ est aussi grand que l'on veut dès que n est suffisamment grand.

Interprétation graphique

On a représenté ci-dessous une suite $(u_{n})$ ayant une limite égale à $+ \infty$ .

Soit p un entier tel que pour tout entier $n ⩾ p$ , on a $u_{n} > A$ . p est le seuil à partir duquel $u_{n} > A$ .

Définition

On dit qu'une suite $(u_{n})$ admet une limite égale à $- \infty$ quand n tend vers $+ \infty$ si pour tout nombre réel A strictement négatif, tous les termes de la suite sont inférieurs à A à partir d'un certain rang p. On écrit : $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$

2 - Limite finie

Définition

Soit $(u_{n})$ une suite définie sur ℕ et $ℓ$ un réel.

Dire que la suite $(u_{n})$ admet pour limite le réel $ℓ$ signifie que tout intervalle ouvert de la forme $] ℓ - r; ℓ + r [$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang p. On écrit : $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$
Une suite qui admet pour limite un réel $ℓ$ est dite convergente.

Autrement dit, une suite $(u_{n})$ est convergente vers un réel $ℓ$ si tous les termes de la suite à partir d'un certain rang p peuvent être aussi proches que voulu de $ℓ$ .

Interprétation graphique

Si on représente la suite convergente par un nuage de points dans un repère, à partir d'un certain rang p, tous les points sont dans la bande délimitée par les droites d'équation $y = ℓ - r$ et $y = ℓ + r$ .

Le rang p est le seuil à partir duquel « $u_{n}$ est à une distance de $ℓ$ inférieure à r ».

Propriété

La suite $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ si, et seulement si, la suite $(u_{n}) - ℓ$ est convergente vers un 0.

remarque

Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple la suite de terme général ${(- 1)}^{n}$ prend alternativement les valeurs 1 et $- 1$ . Elle n'admet pas de limite.

3 - Limites d'une suite géométrique

Théorème ( admis )

Soit q un nombre réel :

Si $- 1 < q < 1$ alors la suite géométrique de terme général $q^{n}$ converge vers 0 : $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ .
Si $q > 1$ alors la suite géométrique de terme général $q^{n}$ a pour limite $+ \infty$ : $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty$ .
Si $q < - 1$ alors la suite géométrique de terme général $q^{n}$ n'admet pas de limite finie ou infinie.

remarque

Pour $q = 1$ , la suite $(q^{n})$ est constante et égale à 1 donc convergente.
Pour $q = - 1$ , la suite $(q^{n})$ prend alternativement les valeurs 1 et $- 1$ suivant la parité de n, elle n'admet pas de limite.

Corollaire

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ non nul et de raison $q > 0$ .

Si $0 < q < 1$ alors la suite $(u_{n})$ converge et $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .
Si $q = 1$ alors la suite $(u_{n})$ est constante et égale à $u_{0}$ .
Si $q > 1$ alors la suite $(u_{n})$ admet une limite infinie avec : $\begin{matrix} \lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty si u_{0} < 0 & et & \lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty si u_{0} > 0 \end{matrix}$

Recherche d'un seuil à l'aide d'un algorithme

exemple 1

Soit $(r_{n})$ la suite géométrique de premier terme $r_{0} = 50000$ et de raison $q = 0,96$ .

Nous avons montré précédemment que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

Pour tout entier naturel n, $u_{n} = 50000 \times {0,96}^{n}$ .

Comme $0 < 0,96 < 1$ alors, $\lim_{n \to + \infty} {0,96}^{n} = 0$ d'où $\lim_{n \to + \infty} 50000 \times {0,96}^{n} = 0$ .

Ainsi, la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante et converge vers 0.

L'algorithme suivant permet d'obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à 30 000.
C'est à dire déterminer le plus petit entier N tel que pour tout entier naturel $n ⩾ N$ , $50000 \times {0,96}^{n} < 30000$ .

$U \leftarrow 50000$
$N \leftarrow 0$

Tant que $U ⩾ 30000$ faire
$U \leftarrow 0,96 \times U$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que

À l'aide de la calculatrice, on obtient $N = 13$ . Donc pour tout entier $n ⩾ 13$ on a $50000 \times {0,96}^{n} < 30000$ .

exemple 2

Soit $(u_{n})$ la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 2000$ et de raison $q = 1,015$ .

$1,015 > 1$ et $u_{0} > 0$ donc la suite $(u_{n})$ est strictement croissante et $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

L'algorithme suivant permet d'obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est supérieur ou égal à 3000.
C'est à dire déterminer le plus petit entier N tel que pour tout entier naturel $n ⩾ N$ , $2000 \times {1,015}^{n} ⩾ 3000$ .

$U \leftarrow 2000$
$N \leftarrow 0$

Tant que $U < 3000$ faire
$U \leftarrow 1,015 \times U$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que

La valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de cet algorithme est 28.
Donc pour tout entier naturel $n ⩾ 28$ , $u_{n} ⩾ 3000$ . Soit pour tout entier naturel $n ⩾ 28$ , $2000 \times {1,015}^{n} ⩾ 3000$ .

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