cours terminale ES obligatoire et L spécialité

compléments sur les suites

III - Suites arithmético-géométriques

1 - Définition

Soient a et b deux réels.
La suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ et de terme initial $u_{0}$ est une suite arithmético-géométrique.

remarque

Si $a = 1$ la suite est arithmétique de raison b.
Si $b = 0$ la suite est géométrique de raison a.
Dans les autres cas, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

2 - Étudier une suite arithmético-géométrique

a et b sont deux réels tels que $a \neq 1$ et $b \neq 0$ .
$(u_{n})$ est la suite arithmético-géométrique définie par $u_{0}$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ .

Représentation graphique

On trace la courbe représentative de la fonction affine $f : x \mapsto a x + b$ et la droite 𝒟 d'équation $y = x$ . Soit $ℓ$ l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
Le graphique permet d'obtenir un certain nombre de conjectures à propos de la monotonie ou de la convergence de la suite $(u_{n})$ .

$- 1 < a < 0$	$0 < a < 1$
La suite $(u_{n})$ n'est pas monotone et semble converger vers $ℓ$ .	$u_{0} < ℓ$ , la suite $(u_{n})$ semble croissante et converger vers $ℓ$ .	$u_{0} > ℓ$ , la suite $(u_{n})$ semble décroissante et converger vers $ℓ$ .
$a < - 1$	$a > 1$
La suite $(u_{n})$ n'est pas monotone et n'a pas de limite.	$u_{0} < ℓ$ , la suite $(u_{n})$ semble décroissante et avoir pour limite $- \infty$ .	$u_{0} > ℓ$ , la suite $(u_{n})$ semble croissante et avoir pour limite $+ \infty$ .

Une suite auxiliaire

proposition

Soient $(u_{n})$ la suite de terme initial $u_{0}$ définie pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ et $ℓ$ le réel solution de l'équation $a ℓ + b = ℓ$ .
La suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naurel n, par $v_{n} = u_{n} - ℓ$ est géométrique.

preuve

Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcl} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - ℓ \\ = & a u_{n} + b - ℓ \\ = & a u_{n} + b - (a ℓ + b) \\ = & a u_{n} - a ℓ \\ = & a \times (u_{n} - ℓ) \\ = & a \times v_{n} \end{array}$

Ainsi, pour tout entier n, $v_{n + 1} = a \times v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison a.

conséquence

$(v_{n})$ est une suite géométrique de raison a et de premier terme $v_{0} = u_{0} - ℓ$ . Par conséquent, pour tout entier naturel n, $v_{n} = (u_{0} - ℓ) \times a^{n}$ .

Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - ℓ \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + ℓ$ , on en déduit que : pour tout entier naturel n, $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) \times a^{n}$ .

remarque

L'expression $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) \times a^{n}$ du terme général de la suite $(u_{n})$ en fonction de n facilite l'étude de la monotonie de la suite ainsi que la recherche d'une limite éventuelle.

3 - étude d'un exemple

Au 1^er janvier 2018, une association comptait 2 500 adhérents. Une étude a permis de modéliser l'évolution future du nombre d'adhérents de l'association. Chaque mois :

4 % des adhérents de l'association ne renouvellent pas leur adhésion ;
80 nouvelles personnes adhérent à l'association.

partie a

On note $u_{n}$ une estimation du nombre d'adhérents de l'association n mois après le 1^er janvier 2018. Justifier que la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2 500$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,96 u_{n} + 80$ modélise l'évolution mensuelle du nombre d'adhérents de l'association.
- Au 1^er janvier 2018, l'association comptait 2 500 adhérents donc $u_{0} = 2 500$ .
- Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 4 % est : $1 - \frac{4}{100} = 0,96$ . L'évolution mensuelle du nombre d'adhérents de l'association s'obtient à l'aide du montage suivant :
  $u_{n} \overset{\times 0,96 ( perte de 4 % des adhérents )}{\to} 0,96 u_{n} \overset{+ 80 ( nouvelles adhésions )}{\to} \underset{u_{n + 1}}{\underset{⏟}{0,96 u_{n} + 80}}$
Ainsi, la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2 500$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,96 u_{n} + 80$ modélise l'évolution mensuelle du nombre d'adhérents de l'association.
Résoudre l'équation $0,96 x + 80 = x$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} 0,96 x + 80 = x & \Leftrightarrow & - 0,04 x = - 80 \\ \Leftrightarrow & x = \frac{80}{0,04} = 2000 \end{array}$
On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par : $v_{n} = u_{n} - 2 000$ .
1. Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 2 000 \\ = & 0,96 u_{n} + 80 - 2 000 \\ = & 0,96 u_{n} - 1 920 \\ = & 0,96 \times (u_{n} - 2 000) \\ = & 0,96 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,96 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,96 dont le premier terme $v_{0} = 2 500 - 2 000 = 500$ .
2. En déduire une expression du terme général $u_{n}$ en fonction de n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,96 et de premier terme $v_{0} = 500$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = 500 \times {0,96}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 2 000 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 2 000$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 500 \times {0,96}^{n} + 2 000$ .
Étudier le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .
Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} & = & (500 \times {0,96}^{n + 1} + 2 000) - (500 \times {0,96}^{n} + 2 000) \\ = & 500 \times {0,96}^{n + 1} - 500 \times {0,96}^{n} \\ = & 500 \times {0,96}^{n} \times (0,96 - 1) \\ = & - 20 \times {0,96}^{n} \end{array}$
Or pour tout entier n, $- 20 \times {0,96}^{n} < 0$ , donc :
pour tout entier n, $u_{n + 1} - u_{n} < 0$ . La suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
$0 < 0,96 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,96}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 500 \times {0,96}^{n} + 2 000 = 2 000$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2 000$ .
La suite $(u_{n})$ converge vers 2 000. À partir d'un certain nombre de mois, le nombre d'adhérents de l'association sera chaque mois proche de 2 000.

partie b

Selon ce modèle, le nombre d'adhérents à l'asociation va diminuer pour se stabliser à long terme à 2 000 adhérents. La responsable de l'association, souhaite déterminer au bout de combien de mois le nombre de membres inscrits sera inférieur à 2 300.

Proposer un algorithme qui permette de répondre au problème posé.
$U \leftarrow 2500$
$N \leftarrow 0$
Tant que $U ⩾ 2 300$
$U \leftarrow 0,96 \times U + 80$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que
En résolvant l'inéquation : $500 \times {0,96}^{n} + 2 000 < 2 300$ , déterminer la valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme précédent.
(Possible après la leçon sur la fonction logarithme )
Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 500 \times {0,96}^{n} + 2000 < 2300 & \Leftrightarrow & 500 \times {0,96}^{n} < 300 \\ \Leftrightarrow & {0,96}^{n} < 0,6 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,96}^{n}) < \ln 0,6 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,96 < \ln 0,6 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,6}{\ln 0,96} & \ln 0,96 < 0 \end{array}$
Or $\frac{\ln 0,6}{\ln 0,96} \approx 12,5$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $500 \times {0,96}^{n} + 2000 < 2300$ est égal à 13.
La valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme est $N = 13$ .

partie c

Le montant de la cotisation mensuelle à l'association est de 10 euros.
Calculer la somme totale, arrondie à la centaine d'euros près, que l'association espère obtenir pour l'année 2018.

En remarquant que $u_{n} = v_{n} + 2000$ , on calcule le nombre d'adhérents de l'association en utilisant la somme de termes de la suite géométrique $(v_{n})$ .

Une estimation du nombre d'adhérents de l'association du 1^er janvier 2018 au 1^er décembre 2018 est : $\begin{array}{rcl} u_{0} + u_{1} + \dots + u_{11} & = & v_{0} + 2000 + v_{1} + 2000 + \dots + v_{11} + 2000 \\ = & \underset{12 termes d'une suite géométrique}{(\underset{⏟}{v_{0} + v_{1} + \dots + v_{11}})} + 12 \times 2000 \\ = & 500 \times \frac{1 - {0,96}^{12}}{1 - 0,96} + 12 \times 2000 \approx 28 841 \end{array}$

Soit une somme totale perçue de $S = 10 \times 28 841 = 288 410$

La somme totale que l'association espère obtenir pour l'année 2018 est d'environ 288 400 euros.

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