Dire qu'une suite est géométrique signifie qu'il existe un nombre réel q non nul tel que, pour tout entier naturel n, Le réel q est appelé la raison de la suite géométrique.
Chaque fois qu'on est confronté à une situation d'évolutions successives d'une grandeur de t %, on peut modéliser la situation à l'aide d'une suite géométrique de raison (augmentation) ou (diminution)
exemples
Un capital de 2 000 € est placé au taux d'intérêt composé de 1 % par an.
Notons le capital disponible au bout de n années alors : Ainsi, la suite est une suite géométrique de premier terme et de raison .
Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de 4 % par an. En 2016, la quantité de rejets était de 50 000 tonnes.
Notons la quantité de rejets l'année d'où : Ainsi, la suite est une suite géométrique de premier terme et de raison 0,96.
Soit une suite géométrique de raison q et de premier terme alors pour tout entier naturel n,
exemple
L'objectif du groupe industriel est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à 30 000 tonnes (soit une réduction de 40 %). Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans ?
Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de :
Avec un réduction de 4 % par an, en 2026 l'objectif du groupe industriel ne sera pas atteint.
Si une suite géométrique de raison q alors pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel p,
rappel : La monotonie d'une suite se déduit du signe de .
Soit une suite géométrique de raison q et de premier terme donc :
La monotonie de la suite géométrique dépend du signe de , et :
Si , alors la suite est croissante. | Si , alors la suite est décroissante. | Si , alors la suite est décroissante. | Si , alors la suite est croissante. |
Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants :
Soit q un réel non nul.
Soit une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme non nul
exemple
Soit la suite définie par et pour tout entier naturel n,
Calculer la valeur, arrondie au centième près, de
Étudier la monotonie de la suite .
est une suite géométrique de premier terme et de raison alors, pour tout entier naturel n, . D'où
Pour tout entier naturel n,
Ainsi, pour tout entier naturel n, donc la suite est strictement décroissante.
Soit une suite géométrique de raison et de premier terme alors pour tout entier naturel n,
Cette formule peut se retenir de la façon suivante :
La somme S de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison est :
exemple
Reprenons l'exemple du groupe industriel qui réduit sa quantité de rejets de 4 % par an et, calculons la masse totale, à une tonne près, des rejets émis sur l'ensemble des années 2016 à 2020.
On modélise la situation par la suite géométrique de premier terme et de raison où, le terme est la masse, exprimée en tonnes, des rejets émis l'année .
La masse totale des rejets émis pendant les années 2016 à 2020 est :
Pendant les cinq années (2016 à 2020), la masse totale des rejets a été de 230 784 tonnes.
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