contrôle du 25 novembre 2013

Corrigé de l'exercice 1

1. 1. Donner le tableau de variation de la fonction f. On fera figurer les images par f de 0, de 4 et de 12.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime$

      x	0		4		12
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Variations de f	3		1		9

   2. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 12.

      Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 12 est $y=f\prime \left(12\right)\times \left(x-12\right)+f\left(12\right)$. Soit $$\begin{array}{ccc}y=2\times \left(x-12\right)+9& \iff & y=2x-15\hfill \end{array}$$

      La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 12 a pour équation $y=2x-15$.

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2. Dans le plan muni d'un repère, tracer la courbe représentative d'une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus. On placera les points d'abscisses 0, 4, 12 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points.

   • Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est $y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$. Soit $y=-x+3$

   • $f\prime \left(4\right)=0$ donc la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est parallèle à l'axe des abscisses.

3. On considère la fonction g définie sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right)$

   1. Donner le tableau de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;12\right]$. On précisera les valeurs de $g\left(0\right)$, $g\left(4\right)$ et $g\left(12\right)$.

      g est la composée de la fonction f suivie de la fonction logarithme népérien. Or la la fonction ln est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$. D'après le théorème sur les variations des fonctions composées, g a les mêmes variations que la fonction f sur l'intervalle $\left[0;12\right]$.

      • $f\left(0\right)=3$, donc $g\left(0\right)=\ln 3$

      • Le minimum de la fonction f est 1 et, il est atteint pour $x=1$ donc $g\left(4\right)=\ln 1=0$

      • $f\left(12\right)=9$, donc $g\left(12\right)=\ln 9=2\ln 3$

      D'où le tableau des variations de la fonction g :

      x	0		4		12
      Variations de g	$\ln 3$		0		$2\ln 3$

   2. Déterminer $g\prime \left(0\right)$.

      La dérivée de la fonction g est la fonction $g\prime$ définie sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{f\left(x\right)}}$. D'où $g\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(0\right)}{f\left(0\right)}}$. Soit $g\prime \left(0\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

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   3. L'affirmation « $g\left(12\right)=2\times g\left(0\right)$ donc $g\prime \left(12\right)=2\times g\prime \left(0\right)$ » est-elle vraie ou fausse ?

      $g\prime \left(12\right)={\displaystyle \frac{f\prime \left(12\right)}{f\left(12\right)}}$. Soit $g\prime \left(12\right)={\displaystyle \frac{2}{2\ln 3}}={\displaystyle \frac{1}{\ln 3}}$

      Ainsi, $g\left(12\right)=2\times g\left(0\right)$ et $g\prime \left(12\right)\ne 2\times g\prime \left(0\right)$ donc l'affirmation est fausse.

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