contrôle du 25 novembre 2013

Corrigé de l'exercice 3

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=3x^2-5x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $F\left(1\right)=0$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(x\right)=3\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}-5\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times x+c\iff F\left(x\right)=x^3-{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}+c$$

   Or $F\left(1\right)=0$ d'où $$1-{\displaystyle \frac{5}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+c=0\iff c=1$$

   Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F\left(1\right)=0$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=x^3-{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x}{2}}+1$.

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2. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $F\left(1\right)=0$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-\ln \left(x\right)+c$$

   Or $F\left(1\right)=0$ d'où $${\displaystyle \frac{1}{3}}-\ln \left(1\right)+c=0\iff c=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$

   Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F\left(1\right)=0$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-\ln \left(x\right)-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

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3. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=\sin \left(2t\right)$ et $F\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=0$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(t\right)=-{\displaystyle \frac{\cos \left(2t\right)}{2}}+c$$

   Or $F\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=0$ d'où $$-{\displaystyle \frac{\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)}{2}}+c=0\iff -{\displaystyle \frac{1}{4}}+c=0\iff c={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

   Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=0$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(t\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{\cos \left(2t\right)}{2}}$.

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