contrôles en terminale STI2D

contrôle du 25 novembre 2013

Corrigé de l'exercice 2

Résoudre dans l'intervalle $] 0; + \infty [$ l'équation : $2 \ln (x) = \ln (3 x + 4)$
Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; + \infty [$ , $\begin{matrix} 2 \ln x = \ln (3 x + 4) & \Leftrightarrow & \ln (x^{2}) = \ln (3 x + 4) \end{matrix}$
La fonction $\ln$ étant strictement croissante, il s'agit donc de chercher les solutions éventuelles de l'équation $x^{2} = 3 x + 4$ appartenant à l'intervalle $] 0; + \infty [$ .
Cherchons les solutions de l'équation du second degré $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ avec $a = 1, b = - 3 et c = - 4$ . Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ d'où : $\begin{matrix} Δ = 9 - 4 \times 1 \times (- 4) = 25 \end{matrix}$
$Δ > 0$ donc l'équation a deux solutions : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{1} = \frac{3 - 5}{2} = - 1 \\ et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \end{array}$
Or 4 est la seule solution appartenant à l'intervalle $] 0; + \infty [$ donc
L'équation $2 \ln (x) = \ln (3 x + 4)$ admet pour unique solution $x = 4$
Résoudre dans l'intervalle $] - 1; + \infty [$ l'inéquation : $2 \ln (x + 1) ⩽ 1$
Pour tout réel x de l'intervalle $] - 1; + \infty [$ , $\begin{array}{l} 2 \ln (x + 1) ⩽ 1 & \Leftrightarrow & \ln (x + 1) ⩽ \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & \ln (x + 1) ⩽ \ln \sqrt{e} \\ \Leftrightarrow & x + 1 ⩽ \sqrt{e} \\ \Leftrightarrow & x ⩽ \sqrt{e} - 1 \end{array}$
L'ensemble solution de l'inéquation $2 \ln (x + 1) ⩽ 1$ est $S =] - 2; \sqrt{e} - 1]$

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