contrôle du 25 novembre 2013

exercice 1

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;12\right]$, satisfaisant les conditions suivantes :

• $f\left(0\right)=3$, $f\left(12\right)=9$, $f\prime \left(0\right)=-1$, et $f\prime \left(12\right)=2$.
• Le minimum de la fonction f est 1.
• Le signe de la fonction dérivée $f\prime$ de f est donné par le tableau suivant :
  

  x	0		4		12
  Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

1. 1. Donner le tableau de variation de la fonction f. On fera figurer les images par f de 0, de 4 et de 12.

   2. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 12.

2. Dans le plan muni d'un repère, tracer la courbe représentative d'une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus. On placera les points d'abscisses 0, 4, 12 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points.

3. On considère la fonction g définie sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $g\left(x\right)=\ln \left(f\left(x\right)\right)$

   1. Donner le tableau de variation de la fonction g sur l'intervalle $\left[0;12\right]$. On précisera les valeurs de $g\left(0\right)$, $g\left(4\right)$ et $g\left(12\right)$.

   2. Déterminer $g\prime \left(0\right)$.

   3. L'affirmation « $g\left(12\right)=2\times g\left(0\right)$ donc $g\prime \left(12\right)=2\times g\prime \left(0\right)$ » est-elle vraie ou fausse ?

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exercice 2

1. Résoudre dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ l'équation : $2\ln \left(x\right)=\ln \left(3x+4\right)$

2. Résoudre dans l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ l'inéquation : $2\ln \left(x+1\right)⩽1$

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exercice 3

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=3x^2-5x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $F\left(1\right)=0$.

2. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ et $F\left(1\right)=0$.

3. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=\sin \left(2t\right)$ et $F\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=0$.

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exercice 4

Pour respecter une nouvelle norme antipollution, un groupe industriel s'engage à réduire chaque année sa quantité de rejets de 5%.
En 2010, la quantité de rejets était de 40000 tonnes.

1. Quel a été la quantité de rejets en 2012 ?

2. Pour tout entier naturel n, on note $r_n$ la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année (2010 + n). On a donc $r_0=\mathrm{40\; 000}$.

   1. Exprimer $r_{n+1}$ en fonction de $r_n$. En déduire la nature de la suite $\left(r_n\right)$.

   2. Pour tout entier naturel n, exprimer $r_n$ en fonction de n.

3. Déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation : $40000\times {\mathrm{0,95}}^n⩽24000$. Interpréter le résultat.

4. La direction du groupe industriel souhaite connaître l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets aura diminué d'au moins 40%.

   1. Recopier et compléter les lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets aura diminué d'au moins 40 %.

      1	Variables :	R est un réel
      2		N est un entier
      3	Initialisation :	Affecter à R la valeur 40000
      4		Affecter à N la valeur 0
      5	Traitement :	Tant que R > …
      6		Affecter à R la valeur …
      7		Affecter à N la valeur N + 1
      8		Fin Tant que
      9	Sortie :	Afficher N + 2010

   2. Quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ?

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exercice 5

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x-2\ln x$.

1. 1. Calculer la limite de la fonction f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

   2. Calculer la limite de la fonction f en $+\infty$. (Rappel : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}=0$)

2. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.
   Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x}}$.

3. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x.

   2. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.

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