contrôles en terminale STI2D

contrôle du 25 novembre 2013

thèmes abordés

  • Primitives d'une fonction .
  • Fonction logarithme népérien.

exercice 1

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle 012, satisfaisant les conditions suivantes :

    1. Donner le tableau de variation de la fonction f. On fera figurer les images par f de 0, de 4 et de 12.

    2. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 12.

  1. Dans le plan muni d'un repère, tracer la courbe représentative d'une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus. On placera les points d'abscisses 0, 4, 12 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points.

  2. On considère la fonction g définie sur l'intervalle 012 par gx=lnfx

    1. Donner le tableau de variation de la fonction g sur l'intervalle 012. On précisera les valeurs de g0, g4 et g12.

    2. Déterminer g0.

    3. L'affirmation « g12=2×g0 donc g12=2×g0 » est-elle vraie ou fausse ?


exercice 2

  1. Résoudre dans l'intervalle 0+ l'équation : 2lnx=ln3x+4

  2. Résoudre dans l'intervalle -1+ l'inéquation : 2lnx+11


exercice 3

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

  1. f est définie sur par fx=3x2-5x+12 et F1=0.

  2. f est définie sur 0+ par fx=x2-1x et F1=0.

  3. f est définie sur par ft=sin2t et Fπ6=0.


exercice 4

Pour respecter une nouvelle norme antipollution, un groupe industriel s'engage à réduire chaque année sa quantité de rejets de 5%.
En 2010, la quantité de rejets était de 40000 tonnes.

  1. Quel a été la quantité de rejets en 2012 ?

  2. Pour tout entier naturel n, on note rn la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année (2010 + n). On a donc r0=40 000.

    1. Exprimer rn+1 en fonction de rn. En déduire la nature de la suite rn.

    2. Pour tout entier naturel n, exprimer rn en fonction de n.

  3. Déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation : 40000×0,95n24000. Interpréter le résultat.

  4. La direction du groupe industriel souhaite connaître l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets aura diminué d'au moins 40%.

    1. Recopier et compléter les lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets aura diminué d'au moins 40 %.

      1Variables :R est un réel
      2N est un entier
      3Initialisation :Affecter à R la valeur 40000
      4Affecter à N la valeur 0
      5Traitement :Tant que R > …
      6Affecter à R la valeur …
      7Affecter à N la valeur N + 1
      8Fin Tant que
      9Sortie :Afficher N + 2010
    2. Quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ?


exercice 5

Soit f la fonction définie sur l'intervalle 0+ par fx=x22-x-2lnx.

    1. Calculer la limite de la fonction f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

    2. Calculer la limite de la fonction f en +. (Rappel : limx+lnxx2=0)

  1. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.
    Montrer que pour tout réel x de l'intervalle 0+ on a fx=x2-x-2x.

    1. Étudier le signe de fx suivant les valeurs du réel x.

    2. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle 0+.

  2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.



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