contrôle du 25 novembre 2013

Corrigé de l'exercice 5

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x-2\ln x$.

1. 1. Calculer la limite de la fonction f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.

      $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x=0$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$ d'où $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x-2\ln x=+\infty$

      $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote l'axe des ordonnées.

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   2. Calculer la limite de la fonction f en $+\infty$. (Rappel : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2}}=0$)

      Pour tout réel x strictement positif, $${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x-2\ln x=x^2\times \left({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2\ln x}{x^2}}\right)$$

      Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2\ln x}{x^2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, on en en déduit par produit des limites que $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x-2\ln x=+\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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2. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.
   Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x}}$.

   Pour tout réel x strictement positif, $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{2}}-1-2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x}}$$

   $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x}}$.

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3. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x.

      Cherchons les racines du polynôme du second degré $x^2-x-2$ avec $a=1\text{, }b=-1\text{ et }c=-2$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1-4\times 1\times \left(-2\right)=9\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines :$$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{1-3}{2}}=-1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{3+3}{2}}=2\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le signe de $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-x-2}{x}}$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

      x	0		2		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x		0			2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			$+\infty$		$-2\ln 2$		$+\infty$

4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $f\prime \left(1\right)=-2$ d'où :$$\begin{array}{ccc}y=-2\times \left(x-1\right)-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & y=-2x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

   La tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-2x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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