contrôles en terminale STI2D

contrôle du 25 novembre 2013

Corrigé de l'exercice 4

Pour respecter une nouvelle norme antipollution, un groupe industriel s'engage à réduire chaque année sa quantité de rejets de 5%.
En 2010, la quantité de rejets était de 40000 tonnes.

  1. Quel a été la quantité de rejets en 2012 ?

    Avec une baisse annuelle de 5% de la quantité de rejets sur deux ans est :40 000×0,952=36 100

    En 2012, la quantité de rejets était de 36 100 tonnes.


  2. Pour tout entier naturel n, on note rn la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année (2010 + n). On a donc r0=40 000.

    1. Exprimer rn+1 en fonction de rn. En déduire la nature de la suite (rn).

      Pour tout entier naturel n, rn+1=0,95×rn donc (rn) est une suite géométrique de raison 0,95


    2. Pour tout entier naturel n, exprimer rn en fonction de n.

      (rn) est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme r0=40 000 donc :

      Pour tout entier naturel n, rn=40 000×0,95n.


  3. Déterminer le plus petit entier n solution de l'inéquation : 40000×0,95n24000. Interpréter le résultat.

    40000×0,95n240000,95n2400040000ln(0,95n)ln0,6La fonction logarithme est croissanten×ln0,95ln0,6Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier  nlnan=nlnanln0,6ln0,95ln(0,95)  négatif

    Or ln0,6ln0,959,96 par conséquent :

    Le plus petit entier n solution de l'inéquation 40000×0,95n24000 est 10. C'est en 2020, que la quantité de rejets sera inférieure à 24 000 tonnes.


  4. La direction du groupe industriel souhaite connaître l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets aura diminué d'au moins 40%.

    1. Recopier et compléter les lignes 5 et 6 de l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets aura diminué d'au moins 40 %.

      40000×(1-40100)=24000

      D'où l'algorithme qui permet de déterminer l'année à partir de laquelle, la quantité de rejets aura diminué d'au moins 40 %

      1Variables :R est un réel
      2N est un entier
      3Initialisation :Affecter à R la valeur 40000
      4Affecter à N la valeur 0
      5Traitement :Tant que R>24000
      6Affecter à R la valeur 0,95×R
      7Affecter à N la valeur N + 1
      8Fin Tant que
      9Sortie :Afficher N + 2010
    2. Quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ?

      D'après le résultat de la troisième question, la valeur affichée à la sortie de cet algorithme est 2020.



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