contrôle du 17 décembre 2013

Corrigé de l'exercice 1

1. 1. Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

      • $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\infty$ donc $\underset{x\to 0}{\lim }1+{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=-\infty$

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      • D'après le cours, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }1+{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=1$

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      Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$

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   2. La courbe $C_f$ a-t-elle des asymptotes ? Si oui lesquelles ?

      $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ donc la courbe $C_f$ admet pour asymptote l'axe des ordonnées. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ donc la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $y=1$ en + ∞.

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2. Montrer que pour tout réel x strictement positif, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$.

   $f\left(x\right)=1+{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$. La fonction f est de la forme $f=1+{\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel $x\in \left]0;+\infty \right[$ : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=\ln x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

   Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{cccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\times x-\ln x}{x^2}}\hfill & \\ & =& {\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $I=\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$.

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3. Étudier le signe de la fonction dérivée $f\prime$ sur l'intervalle I.

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ le quotient ${\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$ est du même signe que $1-\ln x$. Or pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{lll}1-\ln x⩽0& \iff & -\ln x⩽-1\text{ et }x>0\\ & \iff & \ln x⩾1\text{ et }x>0\\ & \iff & x⩾\mathrm{e}\end{array}$$

   Sur l'intervalle $\left]0;\mathrm{e}\right]$, $f\prime \left(x\right)⩾0$ et sur l'intervalle $\left[\mathrm{e};+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)⩽0$.

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4. Recopier et compléter le tableau des variations de f sur I.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur I :

   x	0			e		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$		− ∞		$1+\frac{1}{\mathrm{e}}$		1

5. Donner la valeur arrondie à 10^-2 près des solutions éventuelles de l'équation $f\left(x\right)=0$.

   D'après le tableau des variations de la fonction f, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une seule solution $x_0$ dans l'intervalle $\left]0;\mathrm{e}\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $x_0\approx \mathrm{0,57}$

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