contrôle du 17 décembre 2013

Corrigé de l'exercice 3

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

1. $$\begin{array}{lll}{\mathrm{e}}^{x+\ln 2}=6& \iff & x+\ln 2=\ln 6\\ & \iff & x=\ln 6-\ln 2\\ & \iff & x=\ln 3\end{array}$$

   L'ensemble S des solutions de l'équation ${\mathrm{e}}^{x+\ln 2}=6$ est $S=\left\{\ln 3\right\}$

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2. $$\begin{array}{lll}{\mathrm{e}}^{x^2+x-6}=1& \iff & x^2+x-6=0\end{array}$$

   Le discriminant du trinôme est $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1-4\times 1\times \left(-6\right)=25\end{array}$. Comme $\mathrm{\Delta }>0$, l'équation du second degré a deux solutions : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{-1-5}{2}}=-3& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-1+5}{2}}=2\end{array}$$

   L'ensemble S des solutions de l'équation ${\mathrm{e}}^{x^2+x-6}=1$ est $S=\left\{-3;2\right\}$

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3. $$\begin{array}{lll}{\mathrm{e}}^{x+1}=x-\ln \left({\mathrm{e}}^{x+1}\right)& \iff & {\mathrm{e}}^{x+1}=x-\left(x+1\right)\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{x+1}=-1\end{array}$$

   Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$

   L'équation ${\mathrm{e}}^{x+1}=x-\ln \left({\mathrm{e}}^{x+1}\right)$ n'a pas de solution réelle.

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