contrôle du 17 décembre 2013

Corrigé de l'exercice 5

partie a

La courbe (C) tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d'une fonction f définie sur $ℝ$. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $ℝ$.

1. Au point $A\left(0;2\right)$, la courbe (C) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses. En déduire $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

   Au point $A\left(0;2\right)$, la courbe (C) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses d'où $f\left(0\right)=2$ et $f\prime \left(0\right)=0$.

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2. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction $f\prime$ dérivée de la fonction f et une autre une primitive F de f sur $ℝ$.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

   Courbe 1 de la dérivée $f\prime$	Courbe 2	Courbe 3 d'une primitive F

   • La fonction f est strictement croissante sur $\left]-\infty ;0\right]$ et décroissante sur $\left[0;+\infty \right[$ la courbe 1 est la seule des trois courbes qui représente une fonction positive sur $\left]-\infty ;0\right]$ et négative sur $\left[0;+\infty \right[$.

     La courbe 1 est la courbe représentative de la fonction dérivée $f\prime$.

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   • Dire que F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$ signifie que pour tout réel x, de $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Les variations de la fonction F se déduisent du signe de $f\left(x\right)$$ℝ$

     x	$-\infty$		−2		$+\infty$
     Signe de $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     Variations de F

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     La courbe 3 est la courbe représentative d'une primitive F.

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partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$.

1. 1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

      • $\underset{x\to -\infty }{\lim }x+2=-\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=+\infty$ donc par produit, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=-\infty$. Soit $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=0$. Par conséquent, la limite en $+\infty$ du produit $\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ se présente sous la forme indéterminée « $0\times \infty$ ».

        Or pour tout réel x, $$\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=-2\times \left(-\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$$

        Comme $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ on en déduit que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right)=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }-2\times \left(-\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right)+2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=0$. Soit $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

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   2. La courbe (C) a-t-elle des asymptotes ? Si oui lesquelles ?

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ donc la courbe (C) admet pour asymptote l'axe des abscisses en + ∞.

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2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x+2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+\left(x+2\right)\times \left(-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right)\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \\ & =& -\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\hfill \end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $ℝ$ puis dresser le tableau de variation complet de f.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $-\mathrm{0,5}x$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

      x	$-\infty$		0		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$-\infty$		2		0

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3. Soit F la primitive de la fonction f telle que $F\left(0\right)=0$. On note (Γ) sa courbe représentative.
   Déterminer une équation de la tangente à la courbe (Γ) au point d'abscisse 0.

   Comme F est une primitive de la fonction f on a $F\prime \left(0\right)=f\left(0\right)=2$. Une équation de la tangente à la courbe (Γ) au point d'abscisse 0 est : $$\begin{array}{ccc}y=F\prime \left(0\right)\left(x-0\right)+F\left(0\right)& \text{Soit}& y=2x\end{array}$$

   La tangente à la courbe (Γ) au point d'abscisse 0 a pour équation $y=2x$.

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