contrôles en terminale STI2D

contrôle du 6 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 1

Soit $(u_{n})$ la suite géométrique définie pour tout entier n par $u_{n} = 5 \times {0,96}^{n}$ .
Donner le premier terme $u_{0}$ et la raison de la suite $(u_{n})$ .
$(u_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison 0,96.
$(v_{n})$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 0,15$ et de raison 1,2.
Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
$(v_{n})$ est la suite géométrique définie pour tout entier n par $v_{n} = 0,15 \times {1,2}^{n}$ .
Déterminer le plus petit entier n vérifiant $u_{n} ⩽ v_{n}$ .
n est le plus petit entier tel que : $\begin{array}{l} 5 \times {0,96}^{n} ⩽ 0,15 \times {1,2}^{n} & \Leftrightarrow & \frac{{0,96}^{n}}{{1,2}^{n}} ⩽ \frac{0,15}{5} \\ \Leftrightarrow & {(\frac{0,96}{1,2})}^{n} ⩽ 0,03 \\ \Leftrightarrow & {0,8}^{n} ⩽ 0,03 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,8}^{n}) ⩽ \ln 0,03 & La fonction logarithme est croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,8 ⩽ \ln 0,03 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,03}{\ln 0,8} & \ln (0,8) négatif \end{array}$
Or $\frac{\ln 0,03}{\ln 0,8} \approx 15,7$ par conséquent :
Le plus petit entier n tel que $u_{n} ⩽ v_{n}$ est 16.

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