contrôle du 6 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 5

partie a

Quelle est la limite de la fonction f en 0 ? Interpréter graphiquement ce résultat.

$\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote l'axe des ordonnées.

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partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2-3x-2\ln x$.

1. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-3x-2}{x}}$.

   Pour tout réel x strictement positif, $$f\prime \left(x\right)=2x-3-{\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{x^2-3x-2}{x}}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-3x-2}{x}}$.

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2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le trinôme $2x^2-3x-2$

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=9-4\times 2\times \left(-2\right)=25$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{3-5}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{3+5}{4}}=2\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le signe de $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-3x-2}{x}}$ sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

      x	0		2		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x		0			2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			$+\infty$		$-2-\ln 2$		$+\infty$

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

   Or $f\left(1\right)=-2$ et $f\prime \left(1\right)=-3$ d'où : $$\begin{array}{ccc}y=-3\times \left(x-1\right)-2& \iff & y=-3x+1\end{array}$$

   La tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 a pour équation $y=-3x+1$.

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