contrôle du 6 novembre 2015

exercice 1

1. Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique définie pour tout entier n par $u_n=5\times {\mathrm{0,96}}^n$.
   Donner le premier terme $u_0$ et la raison de la suite $\left(u_n\right)$.

2. $\left(v_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0=\mathrm{0,15}$ et de raison 1,2.
   Exprimer $v_n$ en fonction de n.

3. Déterminer le plus petit entier n vérifiant $u_n⩽v_n$.

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exercice 2

La courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur $\left[0;+\infty \right[$ est tracée ci-dessous.

On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f et F la primitive de la fonction f telle que $F\left(0\right)=0$.

1. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et l'autre celle de F.
   Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f\prime$ et celle qui représente la fonction F.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 6.
   Tracer la droite T sur le graphique 1.

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exercice 3

1. Résoudre dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ l'équation : $2\ln \left(x\right)=\ln \left(4x+5\right)$

2. Résoudre dans l'intervalle $\left]1;+\infty \right[$ l'inéquation : $\ln \left(2x+1\right)+\ln \left(x-1\right)-\ln 2⩾0$

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exercice 4

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

1. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+1$ et $F\left(1\right)=2$.

2. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}-2$ et $F\left(1\right)=-1$.

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exercice 5

partie a

Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ dont le tableau de variations, incomplet est le suivant :

x		0			…		$+\infty$
Variations de f			$+\infty$		…		$+\infty$

Quelle est la limite de la fonction f en 0 ? Interpréter graphiquement ce résultat.

partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2-3x-2\ln x$.

1. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.
   Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-3x-2}{x}}$.

2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x.

   2. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1.

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