contrôle du 6 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 4

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

1. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}+1$ et $F\left(1\right)=2$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+x+c$ où c est un réel.

   Or $F\left(1\right)=2$ d'où $${\displaystyle \frac{1}{2}}+1+1+c=2\iff c=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$

   Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F\left(1\right)=2$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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2. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}-2$ et $F\left(1\right)=-1$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+\ln \left(x\right)-2x+c$ où c est un réel.

   Or $F\left(1\right)=-1$ d'où $${\displaystyle \frac{1}{3}}-2+c=-1\iff c={\displaystyle \frac{2}{3}}$$

   Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F\left(1\right)=-1$ est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+\ln \left(x\right)-2x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

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