contrôles en terminale STI2D

contrôle du 6 novembre 2015

Corrigé de l'exercice 3

  1. Résoudre dans l'intervalle ]0;+[ l'équation : 2ln(x)=ln(4x+5)

    Pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, 2lnx=ln(4x+5)ln(x2)=ln(4x+5)

    La fonction ln étant strictement croissante, il s'agit donc de chercher les solutions éventuelles de l'équation x2=4x+5 appartenant à l'intervalle ]0;+[.

    Cherchons les solutions de l'équation du second degré x2-4x-5=0 avec a=1b=-4 et c=-5. Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=16-4×1×(-5)=36

    Δ>0 donc l'équation a deux solutions : x1=-b-Δ2aSoitx1=4-62=-1etx2=-b+Δ2aSoitx2=4+62=5

    Or 5 est la seule solution appartenant à l'intervalle ]0;+[ donc

    L'équation 2ln(x)=ln(4x+5) admet pour unique solution x=5


  2. Résoudre dans l'intervalle ]1;+[ l'inéquation : ln(2x+1)+ln(x-1)-ln20

    Pour tout réel x de l'intervalle ]1;+[, ln(2x+1)+ln(x-1)-ln20ln(2x+1)(x-1)ln2ln(2x2-x-1)ln22x2-x-12 et x>1

    Or x2-x-12x2-x-30. Étudions le signe du trinôme 2x2-x-3.

    Le discriminant Δ=1+24=25. Comme Δ>0, alors le trinôme a deux racines : x1=1-54=-1etx2=1+54=32

    Nous pouvons en déduire le tableau du signe du trinôme sur l'intervalle ]1;+[

    x132+
    Signe de 2x2-x-3 0||+

    L'ensemble solution de l'inéquation ln(2x+1)+ln(x-1)-ln20 est S=[32;+[



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