contrôle du 23 septembre 2016

Corrigé de l'exercice 1

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

1. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{2}{x}}$.

   La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}$.

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2. g est définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x-2}}$.

   g est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $g={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $g\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=\sin x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=\cos x\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=\cos x-2& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-\sin x\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}g\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\cos x\times \left(\cos x-2\right)-\sin x\times \left(-\sin x\right)}{{\left(\cos x-2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x-2\cos x+{\sin }^{2}x}{{\left(\cos x-2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1-2\cos x}{{\left(\cos x-2\right)}^2}}\end{array}$$

   $g\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2\cos x}{{\left(\cos x-2\right)}^2}}$.

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