contrôle du 23 septembre 2016

exercice 1

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

1. f est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{2}{x}}$.

2. g est définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x-2}}$.

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exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x^2}{2x+1}}$.

1. Calculer $\underset{x\to -\mathrm{0,5}}{\lim }f\left(x\right)$, interpréter graphiquement ce résultat.

2. 1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

   2. Justifier que la droite D d'équation $y=2x-1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction f.

3. 1. Résoudre dans l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ l'inéquation ${\displaystyle \frac{1}{2x+1}}<\mathrm{0,001}$.

   2. Quel calcul peut-on effectuer pour déterminer le plus simplement possible une valeur approchée au millième près de $f\left(750\right)$ ?

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exercice 3

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left]-3;+\infty \right[$.
On sait que :

• la courbe $C_f$ admet pour asymptotes les droites $d_1$ et $d_2$ ;
• la tangente au point $A\left(-1;5\right)$ à la courbe $C_f$ est parallèle à l'axe des abscisses ;
• la tangente au point $B\left(2;1\right)$ à la courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(3;0\right)$.

On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. À partir du graphique et des renseignements fournis :

1. Déterminer $\underset{x\to -3}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Déterminer $f\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

3. Pour chacune des affirmations ci-dessous, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant votre choix.

   1. $f\prime \left(0\right)\times f\prime \left(6\right)⩽0$.

   2. $f\prime \left(-\mathrm{2,999}\right)\times f\prime \left(-\mathrm{2,5}\right)⩽0$.

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exercice 4

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

partie a

1. La droite D d'équation $y=2-x$ est tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 2 .

   1. Tracer la droite D sur le graphique précédent.

   2. Déterminer $f\left(2\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{18-9x}{x^2+5}}$.

1. 1. Déterminer les limites de la fonction f en $-\infty$ et en $+\infty$.

   2. Que peut-on en déduire pour la courbe $C_f$ ?

2. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{9\left(x^2-4x-5\right)}{{\left(x^2+5\right)}^2}}$.

3. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   2. Donner le tableau de variations de la fonction f.

4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $\left(-2\right)$.

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