contrôle du 23 septembre 2016

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x^2}{2x+1}}$.

1. Calculer $\underset{x\to -\mathrm{0,5}}{\lim }f\left(x\right)$, interpréter graphiquement ce résultat.

   $\underset{x\to -\mathrm{0,5}}{\lim }4x^2=1$ et $\underset{x\to -\mathrm{0,5}}{\lim }2x+1=0$ alors, par quotient des limites : $\underset{x\to -\mathrm{0,5}}{\lim }{\displaystyle \frac{4x^2}{2x+1}}=+\infty$.

   $\underset{x\to -\mathrm{0,5}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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2. 1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4x^2}{2x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4x^2}{2x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }2x=+\infty$. D'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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   2. Justifier que la droite D d'équation $y=2x-1$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction f.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ : $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-\left(2x-1\right)& =& {\displaystyle \frac{4x^2}{2x+1}}-\left(2x-1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{4x^2-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{2x+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2x+1}}\end{array}$$

      Par conséquent, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(2x-1\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{2x+1}}=0$.

      Comme $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left(2x-1\right)=0$ on en déduit que la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote la droite D d'équation $y=2x-1$ en $+\infty$.

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3. 1. Résoudre dans l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ l'inéquation ${\displaystyle \frac{1}{2x+1}}<\mathrm{0,001}$.

      Deux nombres positifs, sont dans l'ordre contraire de leurs inverses. Par conséquent, sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ : $$\begin{array}{ccccc}{\displaystyle \frac{1}{2x+1}}<\mathrm{0,001}& \iff & 2x+1>1000& \iff & x>\mathrm{499,5}\end{array}$$

      Sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ l'ensemble S des solutions de l'inéquation ${\displaystyle \frac{1}{2x+1}}<\mathrm{0,001}$ est $S=\left]\mathrm{499,5};+\infty \right[$.

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   2. Quel calcul peut-on effectuer pour déterminer le plus simplement possible une valeur approchée au millième près de $f\left(750\right)$ ?

      D'après la question précédente, $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-\left(2x-1\right)<\mathrm{0,001}& \iff & x>\mathrm{499,5}\end{array}$$

      Par conséquent, une valeur approchée au millième près de $f\left(750\right)$ est :$$\begin{array}{ccc}f\left(750\right)\approx 2\times 750-1& \text{soit}& f\left(750\right)\approx 1499\end{array}$$

      Si $a>\mathrm{499,5}$ alors, une valeur approchée au millième près de $f\left(a\right)$ est $f\left(a\right)\approx 2a-1$.

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