contrôle du 23 septembre 2016

Corrigé de l'exercice 4

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

partie a

1. La droite D d'équation $y=2-x$ est tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 2 .

   1. Tracer la droite D sur le graphique précédent.

   2. Déterminer $f\left(2\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

      • Le point d'abscisse 2 appartient à la courbe $C_f$ ainsi qu'à la tangente. D'où $f\left(2\right)=2-2=0$.

      • Le nombre dérivé $f\prime \left(2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente d'équation $y=2-x$ d'où $f\prime \left(2\right)=-1$.

      Ainsi, $f\left(2\right)=0$ et $f\prime \left(1\right)=-1$

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partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{18-9x}{x^2+5}}$.

1. 1. Déterminer les limites de la fonction f en $-\infty$ et en $+\infty$.

      • $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{18-9x}{x^2+5}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-9x}{x^2}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-9}{x}}=0$. D'où $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

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      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{18-9x}{x^2+5}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-9x}{x^2}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-9}{x}}=0$. D'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

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   2. Que peut-on en déduire pour la courbe $C_f$ ?

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ donc la courbe $C_f$ admet pour asymptote l'axe des abscisses en $-\infty$ et en $+\infty$.

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2. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{9\left(x^2-4x-5\right)}{{\left(x^2+5\right)}^2}}$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=18-9x& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=-9\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+5& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(-9\right)\times \left(x^2+5\right)-\left(18-9x\right)\times \left(2x\right)}{{\left(x^2+5\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-9x^2-45-36x+18x^2}{{\left(x^2+5\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{9x^2-36x-45}{{\left(x^2+5\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{9\left(x^2-4x-5\right)}{{\left(x^2+5\right)}^2}}\end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{9\left(x^2-4x-5\right)}{{\left(x^2+5\right)}^2}}$.

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3. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout réel x, ${\left(x^2+5\right)}^2>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $x^2-4x-5$.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=16-4\times 1\times \left(-5\right)=36$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{4-6}{2}}=-1& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{4+6}{2}}=5\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le signe de $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{9\left(x^2-4x-5\right)}{{\left(x^2+5\right)}^2}}$ :

      x	$-\infty$		$-1$		5		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. Donner le tableau de variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x	$-\infty$		$-1$		5		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	0		4,5		$-\mathrm{0,9}$		0

4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $\left(-2\right)$.

   Une équation de la tangente (T) à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $\left(-2\right)$ est :$$y=f\prime \left(-2\right)\times \left(x+2\right)+f\left(-2\right)$$

   Or $f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{18+18}{4+5}}=4$ et $f\prime \left(-2\right)={\displaystyle \frac{9\times \left(4+8-5\right)}{81}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$ d'où une équation de la tangente (T):$$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{7}{9}}\times \left(x+2\right)+4& \iff & y={\displaystyle \frac{7x}{9}}+{\displaystyle \frac{50}{9}}\end{array}$$

   La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $\left(-2\right)$ a pour équation $y={\displaystyle \frac{7x}{9}}+{\displaystyle \frac{50}{9}}$.

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